布里卡尔八面体
布里卡尔八面体是一种弹性多面体，由拉乌尔·布里卡尔于1897年构建[1]。这些多面体可以在不改变面的形状和边的边长的情况下改变自身的形状[2]。
 以反平行四边形为赤道面的布里卡尔八面体。 其对称轴垂直穿过反平行四边形的平面 | |
| 类别 | 弹性多面体 |
|---|---|
| 对偶多面体 | （未知） |
| 性质 | |
| 面 | 8 |
| 边 | 12 |
| 顶点 | 6 |
| 欧拉特征数 | F=8, E=12, V=6 （χ=2） |
| 组成与布局 | |
| 面的种类 | 8个三角形 |
| 特性 | |
| 弹性 | |
布里卡尔八面体是首个被发现的弹性多面体[3]，其由8个面12条边和6个顶点所组成，且连接方式与正八面体相同。布里卡尔八面体有多个版本，每个版本都有与正八面体相同的连接方式，且皆为自相交的多面体，但构建的方式稍有不同。[4]与正八面体不同，所有布里卡尔八面体都是非凸的自相交多面体。根据柯西刚性定理，弹性多面体必定是非凸多面体[3]，但也存在面没有自相交的弹性多面体。要避免面的自相交，多面体的顶点数需要比布里卡尔八面体的6个顶点还要多，至少要有9个顶点[5]。
在描述这些八面体的出版物中，布里卡尔将这些弹性八面体进行了完全的分类。布里卡尔在这方面的成果后来成为亨利·勒贝格在法兰西公学院的演讲主题。[6]
构造
布里卡尔八面体可以用三对顶点构成，其对称性是围绕一个180度的公共旋转对称轴的对称性（例如，三组顶点每组顶点的其中一个顶点都与另外一个顶点轴对称；亦有另一版本的布里卡尔八面体顶点是基于面对称[4]），并让6个顶点不共面。这些顶点形成了八面体。在八面体的三角形面中，都各有一个顶点来自三个对称组中。对于每一对对称组，顶点有2种选择，所以一共会形成8个三角形面。八面体的边是这些三角形的边，并且包括来自两个对称组中各一个顶点。其共有12条边，形成八面体图K2,2,2[2][7]。
例如，六个点顶点(0,0,±1)、 (0,±1,0)、 和(±1,0,0)形成一个正八面体的顶点，而正八面体的每个相对顶点都位于正八面体的另一面，这导致正八面体不是一个弹性多面体。相反的，同样这6个顶点可以有不同的配对方式以形成具有对角轴对称的布里卡尔八面体[4]。如果上述的轴选择通过原点和点(0,1,1)的线，则对该轴的三组对称点为(0,0,1)—(0,1,0)、 (0,0,−1)—(0,−1,0)、 和 (1,0,0)—(−1,0,0)。由此产生的布里卡尔八面体类似于第二张图的动画所示的极端配置之一，它在赤道面上有反平行四边形。
作为连杆
也可以将布里卡尔八面体视为由12条边组成的连杆机构，在顶点处以可活动的接头相接，并且不设置面。省略布里卡尔八面体的面可以消除许多自相交的部分，但无法全部消除。其所生成的运动链具有一个运动自由度，与它的衍生多面体相同。[8]
解释
八面体中任两个对称点中间点的四条边所构成的四边形可以看做是这个八面体的赤道面（赤道四边形）。由于其对称性，这些四边形通常具有对边等长的特性。位于欧几里得空间的每一个具有对边等长的四边形都具有轴对称性，有些还会具有其他的对称性，例如矩形。如果将布里卡尔八面体沿着其中一个赤道面切开，切成两个无底面的四角锥，那么这两个无底面的四角锥都可以任意弯曲与形变（不弯曲面或改变面的形状）。假若弯曲运动时使两个四角锥保持相同的对称性，则这样的弯曲运动也能保持整个形状的对称轴。而由于其结构的对称性，这两个无底面的四角锥都以相同的方式移动了其被切割的赤道面，因此，这两个无底面四角锥还可以重新黏合在一起，上述的个别四角锥运动就可以看做是整个八面体的形变运动。[2][7]
矩形、平行四边形和反平行四边形皆具有对边等长的特性，这表示可以构造任何以这种平面几何形状作为赤道面的布里卡尔八面体。然而，布里卡尔八面体的赤道四边形不需要位于同一个平面上，反而可能是扭歪四边形。即使构造了平面的赤道多边形之布里卡尔八面体，当这个八面体形变时，赤道多边形通常不会保持平面。[2]但是对于某些布里卡尔八面体，例如附图所示的具有反平行四边形作为赤道面的布里卡尔八面体，在形变的过程中，由于该多面体的对称性导致其赤道面始终保持平面。
其他性质
任何布里卡尔八面体的登不变量在形变过程中皆保持不变。[9]目前已经证明了所有非自相交的弹性多面体都有这一性质[10]，而目前已知有其他自相交的弹性多面体之登不变量在形变过程中不断变化。[11]
衍生
可以透过布里卡尔八面体在添加更多的面来修改布里卡尔八面体，以便使得原本自相交的面互相远离，同时也能允许该形状在不弯曲面和改变面的形状下形变立体。在这些衍生的布里卡尔八面体中，结构最简单的是克劳斯·史特芬发现的具有9个顶点和14个三角形的多面体[2]：史特芬十四面体是结构最简单的无自相交面的弹性多面体[5]。
参见
参考文献
- ^ Bricard, R., Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé, J. Math. Pures Appl., 1897, 5 (3): 113–148 [2017-03-03], （原始内容存档于2012-02-16） （法语）. Translated into English as "Memoir on the theory of the articulated octahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）", E. A. Coutsias, 2010.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A. (编), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10.
- ^ 3.0 3.1 Stewart, Ian, Math Hysteria: Fun and games with mathematics, Oxford: Oxford University Press: 116, 2004, ISBN 9780191647451.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Nawratil, Georg. Flexible octahedra, their generalization and application (PDF). geometrie.tuwien.ac.at. 2011 [2022-08-26]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-18）.
- ^ 5.0 5.1 Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172
- ^ Lebesgue H., Octaedres articules de Bricard, Enseign. Math., Series 2: 175–185, doi:10.5169/seals-41541 （法语）
- ^ 7.0 7.1 Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 347, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046
- ^ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press: 239, 1997, ISBN 0-521-55432-2, MR 1458063.
- ^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1–2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989
, doi:10.1007/s00022-011-0061-7.
- ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068
- ^ Alexandrov, Victor; Connelly, Robert, Flexible suspensions with a hexagonal equator, Illinois Journal of Mathematics, 2011, 55 (1): 127–155, MR 3006683, arXiv:0905.3683 , doi:10.1215/ijm/1355927031.
- ^ Tachi, Tomohiro, Designing rigidly foldable horns using Bricard's octahedron, Journal of Mechanisms and Robotics, 2016, 8 (3): 031008, doi:10.1115/1.4031717.
