以下的定义在定理的叙述和证明中会不断使用到。[ 7]
设 K 和 X 是两个度量空间 ，
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
集合 。如果
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
子集
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
对所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
邻域
U
x
{\displaystyle U_{x}}
y
∈
U
x
{\displaystyle y\in U_{x}}
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}
d
(
f
(
y
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }
则称
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
等度连续
设 K 是一个度量空间 ，
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
子集
如果存在
M
>
0
{\displaystyle M>0}
f
∈
F
,
x
∈
K
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}
|
f
(
x
)
|
<
M
{\displaystyle |f(x)|<M}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
一致有界 的。
如果对所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
sup
f
∈
F
|
f
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
逐点有界 的。 注意到一致有界可推得逐点有界，此外，如果已知
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
完全有界
这是最简单的情况，此时阿尔泽拉-阿斯科利定理的可以叙述为[ 8]
考虑一个定义在闭区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
一致收敛 的。另一方面，如果
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
{
f
n
k
r
}
r
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
设
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
sup
f
∈
F
,
x
∈
K
|
f
′
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
[ 7]
对于一般的度量空间，阿尔泽拉-阿斯科利定理断言[ 8]
设
X
{\displaystyle X}
紧 度量空间，
Y
{\displaystyle Y}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
紧致开拓扑 中是紧致的当且仅当它是等度连续 、完全有界的闭集。 这里，
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle F}
完全有界 当且仅当
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
{
f
(
x
)
:
f
∈
F
}
{\displaystyle \{f(x):f\in F\}}
Y
{\displaystyle Y}
相对紧致 的子集。如果一个集合 A 在紧致开拓扑 中是紧致的，那么 A 中的所有序列都拥有一个在 A 中一致收敛的子序列。
更广泛地，对于 X 是紧豪斯多夫空间 的情况，定理一样成立：[ 9]
设
X
{\displaystyle X}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
F
{\displaystyle F}
紧致开拓扑 中是紧致的当且仅当它是等度连续 、完全有界的闭集。 阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上，连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说，函数的取值空间可以换为豪斯多夫的拓扑向量空间 ，这时仍然有基本相同的定理[ 10] [ 11]
以下证明在实数域上的叙述。
该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小[ 12] X 到完备的度量空间 Y 的任何一列连续映射序列 {f n X 上一致收敛，那么它收敛到一个连续映射 f. 由紧度量空间上，连续映射 f 的一致连续 性和收敛的一致性，可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。[ 7]
若集合 F 中的映射不一致有界，则由定义，对任意 n ∈N , 存在 F 中的映射 f n n , 于是 {f n F 中的映射不等度连续，则存在 ε>0，对任意的 n ∈N ，存在 x 1, x 2 和集合中某个映射 f n d (x 1 ,x 2 ) < 1/n，但 d(f n x 1 ), f n x 2 )) ≥ ε. 这样，{f n [ 7]
充分性的证明用到了对角论证法 [ 12] 有限集 ，则充分性显然。因此，设 X 是个无穷集，由 X 的紧致性可知，存在在 X 中稠密 的序列
E
=
{
x
k
}
k
∈
N
{\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}
考虑
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
{
f
n
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 和 Y 的完备性，该序列拥有收敛的子列，记作
{
f
n
1
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}
{
f
n
1
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}
{
f
n
2
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}
{
f
n
1
}
,
{
f
n
2
}
,
{
f
n
3
}
,
…
{\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }
g
n
=
f
n
n
{\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}
{
g
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
{
g
n
(
x
k
)
}
n
≥
k
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}
{
f
n
k
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
g
n
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
[ 7] [ 12]
给定
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
U
x
{\displaystyle U_{x}}
{
U
x
}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
ξ
1
,
…
,
ξ
l
}
{\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}
[
a
,
b
]
=
⋃
i
=
1
l
U
ξ
i
{\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
x
n
1
,
…
,
x
n
l
}
{\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}
x
n
i
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}
g
n
{\displaystyle g_{n}}
x
n
i
{\displaystyle x_{n_{i}}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
N
=
max
1
≤
i
≤
l
N
i
{\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
[ 7] [ 12]
对 X 中每个点 x，存在一个
ξ
i
{\displaystyle \xi _{i}}
x
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
|
g
m
(
x
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
|
g
n
(
x
n
i
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
|
g
n
(
x
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
可知
|
g
m
(
x
)
−
g
n
(
x
)
|
<
5
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }
[ 7] [ 12]
因此，
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
[ 7] [ 12]
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