支出極小化

支出最小化問題，在經濟學，特別是微觀經濟學中是效用最大化問題的對偶問題，直觀地說就是：「需要多少錢才能使我效用達到最大？」 給定效用函數，價格，和效用目標，這個問題可以分為兩部分。

• 由支出函數決定消費者所需金額。
• 由Hicks需求函數決定消費者如何在極小化其支出的情況下維持其效用不變。

支出函數

假設消費者有一個定義在$L$種商品$\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}$上的效用函數$u$。則該消費者的支出函數給出在給定價格為$\mathbf {p}$的情況下購買一組商品$x$，使得得到的效用$u(x)\geq u^{*}$時所需錢的數額。 形式上，支出函數可以這樣定義。

$e(\mathbf {p} ,u^{*})=\min _{\mathbf {x} \in \geq (u^{*})}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x}$

這裡

$\geq (u^{*}):=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}|u(\mathbf {x} )\geq u^{*}\}$，

表示所得效用至少等於$u^{*}$的組合的集合。

希克斯需求函數

希克斯需求函數 $\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})$定義一個得到所需效用的最便宜組合。它也可以用支出函數來定義馬歇爾需求函數，

$\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})=\mathbf {x} (\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u^{*}))$。

如果馬歇爾需求對應$\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)$是一個總是給出唯一解的函數，則與之相對應的希克斯需求對應$\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})$ 也可以被稱為是希克斯需求函數。

相關條目

• 效用最大化問題
• 拉格朗日乘數

參考文獻

• Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401