費馬引理

費馬引理實分析中的一個定理,以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明函數的每一個極值都是駐點(函數的導數在該點為零),該定理給出了一個求出可微函數最大值最小值的方法。因此,利用費馬引理,求函數的極值的問題便化為解方程的問題。

需要注意的是,費馬引理僅僅給出了函數在某個點為極值的必要條件。也就是說,有些駐點不是極值,它們是拐點。要想知道一個駐點是不是極值,並進一步區分最大值和最小值,我們需要分析二階導數(如果它存在)。

定理

設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義,並且在x0處可導,如果對任意的 ,有

  

那麼 

費馬引理的一個推論是,函數f在定義域A內的最大值和最小值只能在邊界上,不可導的點,或駐點取得。

證明

假設 是一個極大值(如果 是極小值,證明亦類似)。那麼存在一個 ,使得對於所有的 ,都有 。因此對於任何 ,有:

 

由於當 從上方趨於0時,這個比值的極限存在且為 ,我們便有 。另一方面,當 時,我們注意到:

 

 從下方趨於0時,這個極限存在,且等於 ,我們又有 

因此 

參見

外部連結