冯纽曼熵

量子统计力学中，冯纽曼熵（英语：von Neumann entropy）是经典体系吉布士熵概念的拓展延伸。体系的冯纽曼熵为

$S{\dot {=}}-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho ),$

其中Tr表示求迹，$\rho$是体系的密度矩阵。

运用密度矩阵的本征态向量分解表示

$\rho =\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$

可以得到：

$S=-\sum _{i}w_{i}\ln w_{i}.$

性质

冯纽曼熵有下列性质：

• $S=0\iff \rho$代表纯态；
• $S=S_{\max }=\ln N\iff \rho$代表最大混合态，就是所有的$w_{i}$都等于$N^{-1}$，其中$N$是希尔伯特空间的维数；
• 对密度矩阵作酉变换，$S$不变。
• 冯纽曼熵是密度矩阵的上凸函数：

$S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}),\qquad \forall \lambda _{i}\geq 0,\sum _{i}\lambda _{i}=1;$

• 冯纽曼熵对独立体系有加和性，就是：如果$A$和$B$是两个独立的体系，这样

$S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).$