實質條件

在命題演算，或在數學的邏輯演算中，實質條件、實質蘊涵或蘊涵算子是一種二元的真值泛函的邏輯運算符，它有著如下形式：

若A，則B。

這裡的A和B是陳述變量（可以被語言中任何有意義的可表示的句子所替代）。在這種形式的陳述中，第一項這裡的A，叫做前件；第二項這裡的B，叫做後件。

這個算子使用右箭頭「→」（有時用符號「⇒」或「⊃」）來符號化，其語義僅爲「如果A為真，那麼B亦為真」。它的常見寫法見下：

$A\to B$
$A\supset B$
$A\Rightarrow B$

須注意的是， $\Rightarrow$ 更常用於語意蘊含（等同符號 $\vDash$ ）。這也是大多數初學者易搞混的點。

真值表

涉及實質蘊涵的真值表定義如下：

$~A$	$~B$	$~A\rightarrow ~B$ （符合了「如果A為真，那麼B必為真」）
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

由此可見， $A\to B$ 等價於 $\neg A\lor B$ 。

形式性質

實質條件不要混淆於蘊涵關係 $\models$ 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立：

如果 $\Gamma \models \psi$ 則 $\emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi$ 對於某些 $\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\in \Gamma$ 。（這是演繹定理的特定形式。）

上述的逆命題

$\rightarrow$ 和 $\models$ 而二者都是單調的；就是說如果 $\Gamma \models \psi$ 則 $\Delta \cup \Gamma \models \psi$ ，並且如果 $\phi \rightarrow \psi$ 則 $(\phi \land \alpha )\rightarrow \psi$ 對於任何α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。）

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質：

左分配律： $A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$

傳遞律：( $A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$

冪等律： $A\rightarrow A$

真理保持:在其下所有變量被指派為真值『真』的釋義生成真值『真』作為實質蘊涵的結果。

前交換律：( $A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))$

注意 $A\rightarrow (B\rightarrow C)$ 邏輯等價於 $(A\land B)\rightarrow C$ ；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。

對自然語言的符號表示

在介紹邏輯的課本中經常包括的常見的練習是符號表示。這些練習給學生自然語言的一個句子或一段文本，學生必須把它們轉換成符號語言。這是通過識別普通語言的等價的邏輯術語而完成的，這通常包括實質條件、析取、合取、否定和（經常的）雙條件。更高級的邏輯書籍和介紹性讀物的後續章節經常增加等號、存在量詞和全稱量詞。

用來識別實質條件的、在普通語言中的一些短語包括，「如果/當」、「僅當」、「假定」、「假如」、「假設」、「蘊涵」、「即使」和「萬一」。很多這些短語指示前件，另一些指示後件。正確識別「蘊涵方向」是重要的。比如，「A僅當B」被如下陳述捕獲

A → B

而「A當B」被如下陳述正確捕獲

B → A

蘊涵算符的中文意思包括「那麼」「則」「是因為」「如果……就……」。

中文	數學表達式
如果天下雨，我就帶傘	天下雨→我帶傘
學生只有喜歡數學，才會學好物理學生因為喜歡數學，物理才學得好	喜歡數學→物理學得好
如果老婆說對，我就要聽	老婆說對→我就聽

同其他條件陳述的比較

使用這個算子是邏輯學家規定的，作為結果，它產生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯為假設的，任何實質條件的整句陳述結果都是真值成立的。所以陳述句如「假設 $2$ 是奇數，則蘊涵了 $2$ 是偶數」這樣違反自然語言直覺的推理蘊涵是真的。類似的，後件為真的任何實質條件陳述都是真的。所以陳述「若天空的顏色是綠色，則巴黎是在法國」是真的。

這些有爭議的真值推理陳述句出現，是因為自然口語的人經常易受誘惑，而把實質條件和直陳條件或其他條件陳述如反事實條件，混淆在一起了。通過不把條件陳述讀做「如果」和「則/那麼」可以減輕這種誘惑。最常見的方式是把 A → B讀做「要麼不是情況 $A$ 要麼是情況 $B$ （或二者）」，或更簡單的「 $A$ 為假或 $B$ 為真（或二者）」。（當 $A$ 為假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。這種陳述等價的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的邏輯符號 $\neg A\vee B$ 而獲得的。）

引用

Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.

Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.

Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286.

外部連結

陳力恆：〈如言、選言發微〉
陳力恆：〈關聯詞之邏輯關聯（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉