覆蓋 (拓撲學)

在數學中，若 $X$ 是一個集合類 $C$ 中聯集的子集，則集合類 $C$ 是集合 $X$ 的覆蓋。用符號來說，如果 $C=\lbrace U_{\alpha }\rbrace _{\alpha \in A}$ 是 $X$ 的子集索引族，則 $C$ 是如下條件下的覆蓋（定義可參見: Gamelin 與 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁）

X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }

。

更一般的說，如果 $Y$ 是 $X$ 的子集，而 $C$ 是 $X$ 的子集 $U_{\alpha }$ 的搜集，它的聯集包含 $Y$ ，則 $C$ 被稱為是 $Y$ 的覆蓋。也就是 $C$ 是 $Y$ 的覆蓋如果

\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq Y

。

拓撲學中覆蓋

覆蓋通常用在拓撲學的上下文中。如果集合 $X$ 是拓撲空間，我們稱 $C$ 是開覆蓋，如果它的每個成員都是開集（就是說每個 $U_{\alpha }$ 都包含在 $T$ 中，這裡的 $T$ 是 $X$ 上的拓撲）。

如果 $C$ 是 $X$ 的覆蓋，則 $C$ 的子覆蓋是 $C$ 的仍覆蓋 $X$ 的子集。

$X$ 的開覆蓋被稱為是局部有限的，如果對任意 $X$ 的點 $x$ 都存在一個鄰域，其只與這個覆蓋中有限多個集合有交集。用符號來說， $C=\{U_{\alpha }\}$ 是局部有限的，如果對於任何 $x\in X$ ，存在某個 $x$ 的鄰域 $N\left(x\right)$ 使得集合

\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \emptyset \right\}

是有限的。

精細

$X$ 的覆蓋 $C$ 的精細（或稱加細）是 $X$ 的新覆蓋 $D$ ，使得在 $D$ 中的任意的一個集合，都包含在 $C$ 的某個集合中。

用符號來說，有覆蓋 $D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}$ 、 $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ ，如果對任意的 $V_{\beta }$ ，都存在某個 $U_{\alpha }$ 使得 $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$ ，我們則說 $D$ 是覆蓋 $C$ 的精細。

所有子覆蓋也是精細，反之不然。但是注意一般的說精細將比原始覆蓋有更多的集合。

緊緻性

覆蓋的這個詞語經常用來定義與緊緻性有關的拓撲性質。一個拓撲空間 X 被稱為

緊緻的，如果所有開覆蓋有有限子覆蓋。
林德勒夫的，如果所有開覆蓋都有可數子覆蓋。
元緊緻的，如果所有開覆蓋都有一個點有有限開精細。
仿緊緻的，如果所有開覆蓋允許局部有限、精細。

引用

Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 （英語）.
John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 （英語）.