除法

數學中，尤其是在基本計算裏，除法（英語：division）可以看成是「乘法的反運算」，也可以理解為「重複的減法」。除法運算的本質就是「把參與運算的除數變為$1$，得出同比的被除數的值」。

將20個蘋果平均分成四等分（左上），每份有5個蘋果（右下），即${{20}\div {4}}=5$；亦可以說成，將20個蘋果每5個分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此時可以表達為${{20}\div {5}}=4$

例如：${{6}\div {3}}=2$，就好像${{{6}-{3}}-{3}}=0$， ${\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}$，$6$被$3$減了兩次後，就變成了$0$。

如果

$a\times b=c$

而且$b$不等於零，那麼

$a=c\div b$

其中，a稱為商數，b稱為除數，c稱為被除數。

如果除式的商數（$a$）必須是整數，則稱為帶餘除法，$a\times b$與$c$相差的數值，稱為餘數（$d$）。

$c\div b=a\dots d$

這也意味著

$c=a\times b+d$

在高等數學（包括在科學與工程學中）和計算機程式語言中，$c\div b$寫成$c/b$。如果我們不需要知道確切值或者留待以後引用，這種形式也常常是稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數為$\operatorname {div}$，尋找餘數的函數則為$\operatorname {mod}$。

在大部分的非英語語言中，$c:b$代表$c\div b$的比，讀做c比b；$c/b$則代表$c\div b$的比值。用法請參照比例。

整除

整除是數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數$a$可以被自然數$b$整除，是指$b$是$a$的因數，且a是b的整數倍數，也就是$a$除以$b$沒有餘數。

$a\div b=q\dots 0$

因數判別法可參照整除規則。

表示法

$b\mid a$表示$b$整除$a$，即$a$是$b$的倍數，$b$是$a$的因數。

舉例

$15$可以被$5$整除，記作$5\mid 15$。

$20$不能被$6$整除（因為餘數為$2$），記作$6\nmid 20$。在$\mid$上加一條斜線即表示不整除。

除法計算

根據乘法表，兩個整數可以用長除法（直式除法）筆算。如果被除數有分數部分（或者說時小數點），計算時將小數點帶下來就可以；如果除數有小數點，將除數與被除數的小數點同時移位，直到除數沒有小數點。

算盤也可以做除法運算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算${{1260257}\div {37}}=34061$的過程可以表示為：

$1260257\div 37$的演算過程

${\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}$

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算$3\div 7$的近似值：

${\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}$

• 使用短除法計算$420$的質因數分解：

${\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}$

$420=2^{2}\times 3\times 5\times 7$

• 使用短除法計算$420,270$的最大公因數及最小公倍數：

${\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}$

${\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}$

多項式的除法

主條目：綜合除法

和整數之間的帶餘除法類似，一元多項式之間也可以進行帶餘除法。可以證明，設有多項式$A$和非零多項式$B$，則存在唯一的多項式$Q$和$R$，滿足：

$A=BQ+R$

而多項式$R$若非零多項式，則其冪次嚴格小於$B$的冪次。

作為特例，如果要計算某個多項式$P$除以一次多項式$X-a$得到的餘多項式，可以直接將$a$代入到多項式$P$中。$P$除以$X-a$的餘多項式是$P(a)$。

具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如，計算$X^{3}-12X^{2}-42$除以$X-3$，列式如下：

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

因此，商式是$\ X^{2}-9X-27$，餘式是$\ -123$。

重要性質

通常不定義除以零這種形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。

參見

• 籌算除法
• 同餘
• 餘數
• 帶餘除法