負數

負數（英文：Negative number），在數學上指小於0的實數，如−2、−3.2和−807.5，與正數相對。負數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在數學上通常用粗體R⁻或$\mathbb {R} ^{-}$來表示。負數與0統稱非正數。

負數的歷史

負整數可以被認為是自然數的擴展，使得等式$x-y=z$對任意$x$和$y$都有意義。相對而言，其他數的集合都是從自然數通過逐步擴展得到的。

負數在表示小於 0 的值的時候非常有用。例如，在會計學上，它可以被用來表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自從漢代，中國數學家就已經了解負數和零的概念了。 公元1世紀的《九章算術》說「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「減法：遇到同符號數字應相減其數值，遇到異符號數字應相加其數值，零減正數的差是負數，零減負數的差是正數。」）。以上文字裏的「無入」通常被數學歷史家認為是零的概念。

儘管中國古人首先發現並應用了負數，但卻並沒有從理性方面討論負數存在的意義和本質，這可能是文化習慣導致的。對負數精確的定義，和其根本屬性的討論，是由近代西方數學家首先完成的。

西方最早在數學上使用負數的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆羅摩歷算書》。它的出現是為了表示負資產或債務。在很大程度上，歐洲數學家直到17世紀才接受負數的概念。

符號函數

在實數上可以定義這樣一個函數$\operatorname {sgn}(x)$，它對正數取值為 1，負數取值為 −1，0 取值為 0。這個函數通常被稱為符號函數：

$\operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

當$x$不為 0 時，則有：

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.$

這裏，$\left\vert x\right\vert$為$x$的絕對值，$H(x)$為單位階躍函數。請參見導數。

負數的四則運算

負數四則運算口訣

口訣	釋義
	加法	減法	乘法			除法
			被乘數	乘數	積	被除數	除數	商
正正得正	a + (+b) = a + b	－	正	正	正	正	正	正
正負得負	a + (−b) = a − b	－	正	負	負	正	負	負
負正得負	－	a − (+b) = a − b	負	正	負	負	正	負
負負得正	－	a − (−b) = a + b	負	負	正	負	負	正

負數四則運算口訣簡單版

兩個符號一樣	兩個符號不同
得正	得負

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加法

加上一個負數相當於減去其相反數：

$6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,$

$-2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,$

減法

一個較大的正數減去一個較小的正數將得到一個正數

一個較小的正數減去一個較大的正數將得到一個負數：

$6-3=3\,$

$4-6=-2\,$

$0-5=-5\,$

任意負數減去一個正數總得到一個負數：

$-6-3=-(6+3)=-9\,$

減去一個負數相當於加上相應的正數：

$5-(-2)=5+2=7\,$

$(-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,$

乘法

一個負數和一個正數相乘得到一個負數：$(-2)\times 3=-6$。這裏，乘法可以被看作是多次加法的重複：$(-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6$。

兩個負數相乘得到一個正數：$(-3)\times (-4)=12$。這裏，乘法不能再被看作是多次加法的重複了，而是為了使乘法滿足分配律：

${\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,$

等式的左邊為$0\times (-4)=0$。等式的右邊為$-12+(-3)\times (-4)$。為了使兩邊相等，必須要$(-3)\times (-4)=12$。

除法

除法和乘法類似。若被除數和除數有不同的符號，結果是一個負數：

$\;8\;\div \;(-2)=-4\,$

$(-10)\;\div \;2=-5\,$

若被除數和除數有相同的符號（就算他們均為負），結果是一個正數：

$(-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,$

參見

• 實數
• 超實數（Hyperreal number）
• 超現實數（Surreal Numbers）
• 負整數
• 科學計數法