累次極限

在n元函數中，由各變量依某種次序相繼地各自趨於極限而得出的極限，稱為累次極限。

定義

為簡單起見，以討論二元函數$f(x,y)$為限。假設變量$x,y$的變動區域$D$是這樣：$x$可以(與$y$無關的)取集$X$內的任意數值，$X$以不屬於它的點$a$作為聚點，同樣$y$可以(與$x$無關的)在集$Y$內變動，$Y$以不屬於它的點$b$作為聚點。這樣區域$D$可以記為$X\times Y$。

若對$Y$內任一固定的$y$，函數$f(x,y)$(它將只是$x$的函數)在$x\to a$時有極限存在，則這極限。一般地說，將與預先固定的$y$值有關:

$\lim _{x\to {a}}f(x,y)=\phi (y)$

然後可以討論函數$\phi (y)$在$y\to b$時的極限：

$\lim _{y\to {b}}\phi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

這就是兩個累次極限之一，若趨於極限的過程由相反的次序進行，就得出另一累次極限；

$\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$