友誼數
此條目没有列出任何参考或来源。 (2012年12月25日) |
在數論中,友誼數是指二個正整數m和n滿足σ(m)/m = σ(n)/n的關係,其中σ(n)是因數函數,則稱它們是朋友,此二個整數互為友誼數。
例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40,因此80和200都是友誼數。
友誼數為传递关系,若m和n為友誼數,n和p為友誼數,則m和p必為友誼數。
所有的已知的友誼數有6, 12, 24, 28, 30, ...( A074902,按σ(n)/n相同的組對排列:
A050973、
A050973)
確定不是友誼數的數即為孤獨數。但有些數尚未能證明它是否為孤獨數,例如10。
大的友誼數群
若三個或三個以上的正整數,其因數函數除以自身的比值相等,則這些正整數形成友誼數群(friendly number club)。換言之,友誼數群是友誼數關係的等價類。目前還不知道是否有由無限多個正整數組成的友誼數群。完全數的因數函數為自身的2倍,因此所有完全數形成一個友誼數群,推測應該會有無限多個完全數(至少會和梅森質數的個數一樣多),但尚未被證明。
孤獨數
未解決的數學問題:10是孤獨數嗎?
不與其他數組成友誼數對的正整數稱為孤獨數(solitary number)。
所有滿足( n, σ(n) ) = 1的n( A014567)都是孤獨數,因此所有質數冪都是孤獨數。n, σ(n)非互質的孤獨數已知有18, 45, 48, ... ( A095739)。10, 14, 15, 20等數未能證明它是否孤獨數。
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