中線定理

中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

中線定理

對任意三角形$\triangle ABC$，設$I$是線段${\overline {BC}}$的中點，${\overline {AI}}$為中線，則有如下關係：

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,$

證明

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入$I$：

$|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}$

得出

$|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}$

$I$是$BC$的中點，因此${\overrightarrow {IB}}$和${\overrightarrow {IC}}$相反，可知式中兩個標積抵消。又因${\overline {IC}}={\overline {IB}}$，得出

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,$

另一個證法

這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下： 設$H$是從$A$到$BC$的垂足，則$\triangle BHA$和$\triangle AHC$是直角三角形。用勾股定理可得

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,$

${\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,$

${\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,$

所以

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,$

把$BH$和$HC$用$BI$和$IH$表達出來（記得$I$是$BC$的中點，因此$BI=IC$）。注意到雖然現在的情形假設$H$在線段$BI$上，但其 他情形也可以用這個方法。

${\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,$

${\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,$

代入前式：

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,$

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,$

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,$

$\triangle IHA$是直角三角形(H為$\triangle ABC$於${\overline {BC}}$之垂足) ，因此

${\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,$

代入前式得出

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,$

中線的向量表達式

設$I$是線段$BC$的中點，則有${\vec {AB}}+{\vec {AC}}=2{\vec {AI}}$

中線的另一條定理

用標積表示$AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$，其中$H$是$A$到線$BC$的垂足。

從上得到中線的另一條定理$\left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH$。

實際上

$AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}$

${\overrightarrow {AI}}$投影在${\overrightarrow {BC}}$ 上是${\overrightarrow {HI}}$，因而有${\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {HI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$.

這兩個共線向量的標積可等於$BC\times IH\,$或其負數，因此取絕對值。

參見

• 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
• 平行四邊形恆等式