前四個五邊形數.

五邊形數是能排成五邊形多邊形數。其概念類似三角形數平方數,不過五邊形數和三角形數平方數不同,所對應的形狀沒有旋轉對稱(Rotational symmetry)的特性。

個五邊形數可用以下公式求得

首幾個五邊形數為1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, ...(OEIS數列A000326),其奇偶排列是「奇奇偶偶」。

個五邊形數是第三角形數。首個五邊形數的算術平均數是第個三角形數。

五邊形數測試

利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數(此處不考慮廣義五邊形數):

 
  • 若n是自然數,則x是五邊形數,而且恰為第n個五邊形數。
  • 若n不是自然數,則x不是五邊形數。

用五邊形數的和來表示整數

依照費馬多邊形數定理,任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和[1]。在小於 的整數中,只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示:

9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS數列A133929

廣義五邊形數

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同,只是n可以為負數和零,n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...,廣義五邊形數也可以用下式表示:

 

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...,

其產生的數列如下:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

歐拉整數分拆理論中,五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。

用第n個五邊形數(n>2)排列組成的正五邊形,外圍點的個數有 個,因此在內部的點個數為:

 

剛好也是一個廣義五邊形數。

所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和[1]

若三角形數可以被3整除,則除以3之後的數必為廣義五邊形數[2]

廣義五邊形數和中心六邊形數

廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出,並且從中間將正六邊形分為二個梯形,較大的梯形可以表示為五邊形數,而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數,因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和(五邊形數也是廣義五邊形數的一種):

1=1+0 7=5+2 19=12+7 37=22+15
    
   
  
   
    
     
    
   
    
     
      
       
      
     
    

一般來言:

 

等式右側為二個廣義五邊形數,且第一項是五邊形數(n ≥ 1)。

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 Guy, Richard K. Every Number is Expressible as the Sum of How Many Polygonal Numbers?. The American Mathematical Monthly. 1994-02, 101 (2): 169–172. ISSN 0002-9890. doi:10.1080/00029890.1994.11996925 (英语). 
  2. ^ Conway, John H.; Guy, Richard. The Book of Numbers. Springer Science & Business Media. 1998-03-16: 96. ISBN 978-0-387-97993-9 (英语). 

外部連結