交错多项式

代数中，交错多项式（alternating polynomial）是多项式 $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ ，使得交换任意两个变量，多项式的符号发生变化：

f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).

等价地，排列变量时，多项式的值会因排列的符号而改变：

f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).

更一般地说，若交换 $x_{i}$ 中任意两个变量会改变符号、而交换 $y_{j}$ 则保持不变，就称多项式 $f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})$ 在 $x_{1},\dots ,x_{n}$ 中交错。^[1]

与对称多项式的关系

对称多项式与交错多项式（具有相同的变量 $x_{1},\dots ,x_{n}$ ）之积有如下表现：

两对称多项式之积仍是对称的；
对称多项式与交错多项式之积是交错的；
两交错多项式之积是对称的。

这正是奇偶性的加法表，“对称”对应“偶”，“交错”对应“奇”。于是，对称多项式与交错多项式的直和构成了超代数（ $\mathbf {Z} _{2}$ -分次代数），其中对称多项式是偶部，交错多项式是奇部。分次与多项式的次数无关。

交错多项式在对称多项式代数上形成了模（超代数的奇部是偶部上的模）；事实上，它是秩为1的自由模，以n元范德蒙多项式为生成子。

若系数环的特征为2，则这两个概念没有区别，即交错多项式就是对称多项式。

范德蒙多项式

基本交错多项式是范德蒙多项式：

v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).

这显然是交错的，交换两变量会改变其中一项的符号，而不改变其他项的符号。^[2]

交错多项式正是范德蒙多项式乘以对称多项式： $a=v_{n}\cdot s$ ，其中s是对称多项式。这是因为：

$v_{n}$ 是每个交错多项式的因式： $(x_{j}-x_{i})$ 是每个交错多项式的因式，因为如果 $x_{i}=x_{j}$ ，则多项式为零（交换它们不会改变多项式，所以得到

f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),

于是

(x_{j}-x_{i})

是因式），于是

v_{n}

是因式。

交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是 $v_{n}$ 的所有倍数都是交错多项式。

相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。

环结构

因此，用 $\Lambda _{n}$ 表示对称多项式环，则对称与交错多项式环是 $\Lambda _{n}[v_{n}]$ ，更精确地说是 $\Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle$ ，其中 $\Delta =v_{n}^{2}$ 是对称多项式，即判别式。

也就是说，对称与交错多项式环是对称多项式环的2次扩张，其中伴随了一个判别式的平方根。

或者说，是

R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .

若2不可逆，情况就有些不同，必须使用不同的多项式 $W_{n}$ ，得到不同的关系。见Romagny。

表示论

从表示论视角来看，对称与交错多项式是对称群在n元多项式环的n个字母上的作用的子表示。（形式上，对称群作用于n个字母，因此也作用于导出对象，如n个字母上的自由对象——多项式环之类。）

对称群有2个1维表示：平凡表示与符号表示。对称多项式是平凡表示，交错多项式是符号表示。形式上，任何对称（或交错）多项式的标量跨度（scalar span）是对称群的平凡（或符号）表示，多项式的乘法张量就是表示。

特征为2时，这些并不是不同的表示，分析就复杂了。

若 $n>2$ ，对称群对多项式环的作用还有其他子表示，这在对称群表示定理中有讨论。

不稳定

交错多项式是不稳定的现象：n元对称多项式环可从任意多元对称多项式环得到，方法是计算 $x_{n}$ 以上的变量对应的值设为0，因此对称多项式的定义是“稳定”或“兼容”的。然而，交错多项式，尤其范德蒙多项式却并非如此。

另见

注释

^ Giambruno & Zaicev (2005)，第12頁.
^ 对其他项，只是重排了： $n=3$ 情形，交换 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 会将 $(x_{2}-x_{1})$ 变为 $(x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})$ ，并将 $(x_{3}-x_{1})$ 与 $(x_{3}-x_{2})$ 互换，但不改变其符号。