光線轉換矩陣分析 (又稱ABCD矩陣分析 ),是用於某些光學系統,特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix),這個矩陣與一代表光線的向量 相乘之後,可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中,用以追蹤通過粒子加速器 中磁鐵裝置的粒子,詳情請見电子光学 。
以下介紹的技術使用了近軸逼近法 ,此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。[ 1]
定義
光線追蹤技術以兩個平面為參考面,分別為輸入平面與輸出平面,這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外,為了理論的一般性,我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1 ,從距離光軸 x 1 的入射面進入系統,並在距光軸的x 2 的輸出面呈θ2 射出,而n 1 , n 2 分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。
這些參數可表成下列關係式:
[
x
2
θ
2
]
=
[
A
B
C
D
]
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}
當
A
=
x
2
x
1
|
θ
1
=
0
B
=
x
2
θ
1
|
x
1
=
0
{\displaystyle A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}
且
C
=
θ
2
x
1
|
θ
1
=
0
D
=
θ
2
θ
1
|
x
1
=
0
{\displaystyle C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}
這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結,M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系,可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。
det
(
M
)
=
A
D
−
B
C
=
n
1
n
2
{\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}}
因此,若是輸入面與輸出面在同一個介質中,或是在具有同一個折射率的不同介質中,M等於1,相似的技術可以應用於電路學上,見二埠網路 。
範例
若兩個面中有空間存在,光線轉換矩陣可以表示成:
S
=
[
1
d
0
1
]
{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量),此矩陣有下列關係:
[
x
2
θ
2
]
=
S
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}
兩光線各別的參數可表示如下:
x
2
=
x
1
+
d
θ
1
θ
2
=
θ
1
{\displaystyle {\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}}
另一個範例為一薄透鏡,其光線轉畫矩陣為:
L
=
[
1
0
−
1
f
1
]
{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}
其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統,光線轉化矩陣可以交互相乘,形成一總括光線轉化矩陣,以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:
L
S
=
[
1
0
−
1
f
1
]
[
1
d
0
1
]
=
[
1
d
−
1
f
1
−
d
f
]
{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}
注意,矩陣的乘法並沒有交換率,因此下面的系統先為一薄透鏡,後為一空間。
S
L
=
[
1
d
0
1
]
[
1
0
−
1
f
1
]
=
[
1
−
d
f
d
−
1
f
1
]
{\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}
因此,矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率 的介質,或者是面鏡的反射等等。
光線轉化矩陣表格
共振穩定性
RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用,像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同,具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的,上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2,彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統,此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:
M
=
L
S
=
[
1
d
−
1
f
1
−
d
f
]
{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}
光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器),意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦,並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”,入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得:
M
[
x
1
θ
1
]
=
[
x
2
θ
2
]
=
λ
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}
此為一本徵方程式:
[
M
−
λ
I
]
[
x
1
θ
1
]
=
0
{\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0}
其中I為一2x2單位矩陣。
我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值:
det
[
M
−
λ
I
]
=
0
{\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0}
可導出以下特徵方程式:
λ
2
−
tr
(
M
)
λ
+
det
(
M
)
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0}
其中
tr
(
M
)
=
A
+
D
=
2
−
d
f
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}}
是RTM的軌跡 ,且
det
(
M
)
=
A
D
−
B
C
=
1
{\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1}
是RTM行列式值的倒數,帶入消去後我們可以得到:
λ
2
−
2
g
λ
+
1
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0}
其中
g
=
d
e
f
tr
(
M
)
2
=
1
−
d
2
f
{\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}}
是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解,由一元二次方程式可以解出:
λ
±
=
g
±
g
2
−
1
{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,}
現在,考慮一個光線通過系統N次:
[
x
N
θ
N
]
=
λ
N
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}
如果此波導是穩定的,所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方,意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1,則兩本徵值均為實數,又因為λ*λ- = 1 ,因此其中一個的絕對值必須大於1,這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中,g2≤1,以及本徵值可以用複數形式表示:
λ
±
=
g
±
i
1
−
g
2
=
cos
(
ϕ
)
±
i
sin
(
ϕ
)
=
e
±
i
ϕ
{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }}
以g=cos(φ)表示。
假設
g
2
<
1
{\displaystyle g^{2}<1}
且
r
+
{\displaystyle r_{+}}
,
r
−
{\displaystyle r_{-}}
是
λ
+
{\displaystyle \lambda _{+}}
,
λ
−
{\displaystyle \lambda _{-}}
的本徵向量,此兩向量橫跨所有向量空間,因為他們是正交
因此輸入的向量可以被表示成:
c
+
r
+
+
c
−
r
−
{\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}}
,
c
+
{\displaystyle c_{+}}
and
c
−
{\displaystyle c_{-}}
為某常數
再通過N個波導後,輸出則為:
M
N
(
c
+
r
+
+
c
−
r
−
)
=
λ
+
N
c
+
r
+
+
λ
−
N
c
−
r
−
=
e
i
N
ϕ
c
+
r
+
+
e
−
i
N
ϕ
c
−
r
−
{\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}}
這代表一個週期函數。
高斯光束的光線轉化矩陣
光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams),若有一高斯光束波長為λ0,曲率半徑為R,光點大小w,折射率n,我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:
1
q
=
1
R
−
i
λ
0
π
n
w
2
{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}}
此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:
[
q
2
1
]
=
k
[
A
B
C
D
]
[
q
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}}
其中k為標準化常數,此常數可以讓光束向量的第二個成分為1,利用矩陣乘法:
q
2
=
k
(
A
q
1
+
B
)
{\displaystyle q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,}
且
1
=
k
(
C
q
1
+
D
)
{\displaystyle 1=k(Cq_{1}+D)\ }
由上式除以下式可得:
q
2
=
A
q
1
+
B
C
q
1
+
D
{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}}
此方程式常以倒數形式表示:
1
q
2
=
C
+
D
/
q
1
A
+
B
/
q
1
{\displaystyle {1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}}
範例:Free space
假設一光束通過一距離為d的空間,光線轉化矩陣為:
[
A
B
C
D
]
=
[
1
d
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
因此
q
2
=
A
q
1
+
B
C
q
1
+
D
=
q
1
+
d
1
=
q
1
+
d
{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}
這表示,通過一空間會增加半徑d。
範例:薄透鏡
假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡,光線轉化矩陣為:
[
A
B
C
D
]
=
[
1
0
−
1
/
f
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}}
因此
q
2
=
A
q
1
+
B
C
q
1
+
D
=
q
1
−
q
1
f
+
1
{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}
1
q
2
=
−
q
1
f
+
1
q
1
=
1
q
1
−
1
f
{\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}}
再次強調,只有q的實部會被影響,曲率半徑會減少1/f。
另見
參考文獻
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. Section 1.4, pp. 26 – 36.
外部連結