光线转换矩阵分析

光线转换矩阵分析(又称ABCD矩阵分析),是用于某些光学系统,特别是雷射领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix),这个矩阵与一代表光线的向量相乘之后,可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中,用以追踪通过粒子加速器中磁铁装置的粒子,详情请见电子光学

以下介绍的技术使用了近轴逼近法,此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。[1]

定义

光线追踪技术以两个平面为参考面,分别为输入平面与输出平面,这两个平面均垂直于系统的光轴。此外,为了理论的一般性,我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ1,从距离光轴 x1 的入射面进入系统,并在距光轴的x2的输出面呈θ2射出,而n1, n2分别是在输入面与输出面中介质的折射率。

这些参数可表成下列关系式:

 

 

 

这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相连结,M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系,可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。

 

因此,若是输入面与输出面在同一个介质中,或是在具有同一个折射率的不同介质中,M等于1,相似的技术可以应用于电路学上,见二埠网路

范例

若两个面中有空间存在,光线转换矩阵可以表示成:

 

其中d表示两参考平面的距离(沿著光轴测量),此矩阵有下列关系:

 

两光线各别的参数可表示如下:

 

另一个范例为一薄透镜,其光线转画矩阵为:

 

其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统,光线转化矩阵可以交互相乘,形成一总括光线转化矩阵,以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:

 

注意,矩阵的乘法并没有交换率,因此下面的系统先为一薄透镜,后为一空间。

 

因此,矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率的介质,或者是面镜的反射等等。

光线转化矩阵表格

简易的光学元素

成分元素 矩阵 注解
传输在具有常数折射率的空间   d为传输距离
折射在平坦的表面   n1 为入射时的环境折射率

n2 为折射后的环境折射率

折射在曲面   R 为曲率半径,当 R > 0 为凸面

n1 为入射时的环境折射率
n2 为折射后的环境折射率

从平坦面镜反射  
从曲面镜反射   R 为曲率半径,当 R > 0 为凹面,可用于近轴近似法
薄透镜   f 为透镜的焦距, 当 f > 0 为凸透镜

唯有在焦距远大于透镜厚度时成立

厚透镜   n1 为透镜外的折射率

n2 为透镜内的折射率
R1 为第一表面的曲率半径
R2 为第二表面的曲率半径
t 为透镜的中心厚度

单直角棱镜   k = (cos /cos ) 是beam expansion的因素, 当  为入射角,   为折射角, d 为棱镜的路径长, n 为棱镜的折射率。 这个举证应用在orthogonal beam exit。

共振稳定性

RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用,像是雷射。在最简单的情况下由两个完全相同,具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的,上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2,彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统,此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:

 

光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器),意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦,并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”,入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。 使得:

 

此为一本征方程式:

 

其中I为一2x2单位矩阵。 我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值:

 

可导出以下特征方程式:

 

其中

 

是RTM的轨,且

 

是RTM行列式值的倒数,带入消去后我们可以得到:

 

其中

 

是稳定参数。本征值是本征方程式的解,由一元二次方程式可以解出:

 

现在,考虑一个光线通过系统N次:

 

如果此波导是稳定的,所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方,意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1,则两本征值均为实数,又因为λ*λ- = 1 ,因此其中一个的绝对值必须大于1,这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中,g2≤1,以及本征值可以用复数形式表示:

 

以g=cos(φ)表示。

假设   ,   ,  的本征向量,此两向量横跨所有向量空间,因为他们是正交 因此输入的向量可以被表示成:

 ,

  and  为某常数

再通过N个波导后,输出则为:

 

这代表一个周期函数。

高斯光束的光线转化矩阵

光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams),若有一高斯光束波长为λ0,曲率半径为R,光点大小w,折射率n,我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:

 

此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:

 

其中k为标准化常数,此常数可以让光束向量的第二个成分为1,利用矩阵乘法:

 

 

由上式除以下式可得:

 

此方程式常以倒数形式表示:

 

范例:Free space

假设一光束通过一距离为d的空间,光线转化矩阵为:   因此

 

这表示,通过一空间会增加半径d。

范例:薄透镜

假设一光束通过一焦距为f的薄透镜,光线转化矩阵为:

 

因此

 
 

再次强调,只有q的实部会被影响,曲率半径会减少1/f。

另见

参考文献

  1. ^ An exact method for tracing meridional rays is available here页面存档备份,存于互联网档案馆).
  • Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991.  Section 1.4, pp. 26 – 36.

外部链接