协变经典场论

近年来,协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

记法

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令 表示有紧支撑的 的截面。

作用量积分

一个经典场论数学上可以如下表述

  • 一个纤维丛  ,其中 表示一个 维时空。
  • 一个拉格朗日量形式  

 代表 上的体积形式,则 ,其中 拉格朗日量函数。 我们在  上选择纤维化坐标 ,使得

 

作用量积分定义为

 

其中 ,并定义于开集 ,而 代表其第一射流延长(jet prolongation)。

作用量积分的变分

截面 的变分由曲线 给出,其中 是一个 上的 -竖直向量场 的流,它在 上有紧支撑。 截面 称为变分的驻点,如果

 

这等价于

 

其中 代表 的第一延长,按李导数的定义。 使用嘉当公式 斯托克斯定理以及 的紧支撑,可以证明这等价于

 

欧拉-拉格朗日方程

考虑一个  -竖直向量场

 

其中 。采用切触形式   on  ,我们可以计算 的第一延长。然后得到

 

其中 。 据此,可以证明

 

因而

 

分部积分并考虑 的紧支撑,临界条件变为

   
 

因为 为任意函数,我们得到

 

这些就是欧拉-拉格朗日方程组

参看

参考