在复分析中,一个全纯函数的可去奇点(removable singularity),有时称为装饰性奇点(cosmetic singularity)是这样的点,在此处函数表面上没有定义,但是通过细致地分析,函数的定义域可以扩大到该奇点,使得延拓后的函数仍然全纯。
例如函数:
![{\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b877410423dbcc6e99437d552978ab20145a6f)
对 z ≠ 0 有一个奇点 z = 0。藉由定义 f(0)=1,可將此奇点消去,並得到全純的 sinc函數。
确切地,如果 U 是复平面 C 的一个开集,a 是 U 中一点,f : U - {a} → C 是一个全纯函数,如果存在一个在 U - {a} 与 f 相等的全纯函数 g : U → C,则 a 称为 f 的一个可去奇点。如果这样的 g 存在,我们说 f 在 a 是可全纯延拓的。
黎曼定理
黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的:
定理下列情形是等价的:
- i) f可全纯延拓到a。
- ii) f可连续延拓到a。
- iii) 存在a的一个邻域,在它上面 f 有界。
- iv) limz → a(z - a) f(z) = 0.
蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i),我们首先回忆到一个函数在a的全纯性等价于解析,即有一个幂级数表示。定义
-
则
-
这里由假设(z - a)f(z)可以视为一个D上的连续函数。换句话说,h在D上全纯从而有在a的泰勒级数:
-
所以
-
是f在a的全纯延拓,这就证明了先前的断言。
其它类型奇点
不像实变量函数,全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点,即可去奇点,要么是如下两类居其一:
- 受黎曼定理启示,给定一个不可去奇点,我们可能问是否存在一个自然数 m 使得 limz → a(z - a)m+1f(z) = 0。如果存在,a 称为 f 的一个极点,这样最小的 m 称为 a 的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。
- 如果 f 的一个孤立奇点 a 既非可去奇点也非极点,则称本性奇点。皮卡定理指出 f 将任意穿孔开邻域 U - {a} 映满整个复平面,至多少一个可能的例外点。
参见