安德里卡猜想

安德里卡猜想(Andrica's conjecture)是關於質數間的間隙的猜想[1],以罗马尼亚数学家多林·安德里卡西班牙语Dorin Andrica的名字命名。

(a) 對最初100個質數的值
(b) 對最初200個質數的值
(c) 對最初500個質數的值
安德里卡猜想對最初(a)100個、(b)200個和(c)500個質數的圖像化證明。猜想的內容指稱,總小於一。

該猜想認為,對於任意的,下述不等式成立:

其中是第個質數。若是第質數間隙,那麼安德里卡猜想可表述如下:

實證證據

伊姆兰·戈里(Imran Ghory)用了大質數間隙的資料,證實了該猜想對大到  都成立。[2]利用最大質數間隙(maximal gap)和質數間隙不等式,可將此結果推廣到大到  之上。

離散方城 呈遞減,其中 的「高水位」標記,出現在 之處,其中 ,而對於最初的 個質數而言,沒有比這更大的值。由於 該方程對 呈現非病態遞減之故,因此若要在 不斷變大的情況下使得這個差變大,一個不斷增長的質數間隙是必要的。故該猜想非常可能是正確的,但目前還沒有證明。

推廣

 
廣義安德里卡猜想對最初100個質數的x的值,並標出x的最小可能解 的推測位置。

安德里卡猜想的推廣會論及以下等式:

 

其中 是第 個質數,而x是任意正實數。

易證x的最大可能解出現於 處,在此處, ;而有猜想認為,x的最小可能解出現於 處,在此處, 。(OEIS數列A038458

該猜想也可以不等式表述,因此廣義安德里卡猜想可表述如下:

對於 而言, 

參見

參考和註解

  1. ^ Andrica, D. Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes–Bolyai Math. 1986, 31 (4): 44–48. ISSN 0252-1938. Zbl 0623.10030. 
  2. ^ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.

外部連結