完整群

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微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（英語：holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

定义

向量叢聯絡的和樂

設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量丛，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 P_γ : E_x → E_x. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

$\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.$

以 x 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 γ 給出的子群$\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$.

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

$\operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.$

選取 E_x 的另一組基（即以另一種方式將 E_x 視為與 R^k 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

• $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 GL(k, R) 的連通李子群。
• $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 $\operatorname {Hol} (\nabla )$ 的單位連通支。
• 存在自然的滿群同態 $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),$ 其中 $\pi _{1}(M)$ 是 M 的基本群。該同態將同倫類 $[\gamma ]$ 映到陪集 $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
• 若 M 單連通，則 $\operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
• ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当 $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ 使得 ${\tilde {\gamma }}(0)=p.$ 水平提升的終點 ${\tilde {\gamma }}(1)$ 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.$

若在定義中僅允許可縮環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$. 其為和樂群$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

$\operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.$

特別地，

$\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,$

再者，若 p ~ q, 則 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

• $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 G 的連通李子群。
• $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的單位連通支。
• 存在自然的滿群同態$\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
• 若 M 單連通，則 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
• ω 為平（即曲率恆零）当且仅当 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 為平凡群。

和樂叢

同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$（即 H (p) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群

和樂叢 H (p) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 叢，因此受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 稱為聯絡的單延拓群。其作用在商叢 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。存在滿同態$\varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),$ 使得 $\varphi (\pi _{1}(M))$ 作用在 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

局域及無窮小和樂

若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π⁻¹U 的聯絡。該叢的和樂群記為 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),$ 而受限和樂群則記為 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),$ 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$

p 點的局域和樂群定義為

$\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),$

其中 U_k 為任意一族滿足 $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ 的遞降（即 $U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k$ ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

1. 其為受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 的連通李子群。
2. 每點 p 都有鄰域 V 使得 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$ 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 U_k 的選取。
3. 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).$（注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

• 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即$\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$

詞源

英文Holonomy與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（1819–1895）引入，來自希臘文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分別是「全」、「形態」。

"Holonomy"與"holomorphic"的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網絡上找出holonomic（或holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala

參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理

安布羅斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若$\sigma :[0,1]\times [0,1]\to M$是$M$中某曲面的坐標表示，則向量$V$可以沿$\sigma$的邊界平行移動，由原點出發，先沿$(x,0)$，再沿$(1,y)$，再$(x,1)$（$x$反方向，即由$1$遞減至$0$），最後$(0,y)$，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量$V$沿該圈平行移動的結果，相當於$\sigma$邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在$V$上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應$\sigma$坐標中的區域$[0,x]\times [0,y]$，而$x,y$趨向於$0$），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於$x=y=0$處的導數：

${\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V$

其中$R$為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，$R(X,Y)$是$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為$G$的主叢$P\to M$某聯絡的和樂。以${\mathfrak {g}}$表示$G$的李代數，則聯絡的曲率形式是$P$上的${\mathfrak {g}}$值2-形式$\Omega$。安布羅斯－辛格定理斷言：

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$的李代數，是由${\mathfrak {g}}$中所有形如$\Omega _{q}(X,Y)$的元素線性張成，其中$q$取遍所有可以用水平曲線$(q\sim p)$與$p$連接的點，而$X,Y$皆是$q$處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$的李代數，是${\mathfrak {g}}$中形如$\Omega _{q}(X,Y)$的元素張成的線性子空間，其中$q$取遍$H(p)$的元素，而$X,Y$取遍$q$處的水平向量。

黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解

設$x\in M$為任意一點，則和樂群$\mathrm {Hol} (M)$作用在切空間$T_{x}M$上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將$T_{x}M$分解成正交子空間的直和

$T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,$

而兩個子空間皆在$\mathrm {Hol} (M)$作用下不變。此時亦稱$M$可約。

設$M$為可約流形。上式說明，在每一點$x$處，切空間可以約化分解成$T'_{x}M$和$T''_{x}M$，所以當$x$變動時，就定義出向量叢$T'M$和$T''M$，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形皆為完全測地子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察$M$，是笛卡爾積$M'\times M''$。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

設$M$為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，$TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M$為切叢的完全約化分解，而和樂群在$T^{(0)}M$上的作用平凡（恆等映射），則$M$局部等距同構於乘積

$V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},$

其中$V_{0}$是歐氏開集，而每個$V_{i}$是$T^{(i)}M$的積分流形。更甚者，$\mathrm {Hol} (M)$是$\mathrm {Hol} (M_{i})$的直積（$M_{i}$是$T^{(i)}$過某點的極大積分流形）。

若同時假設$M$測地完備（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各$M_{i}$本身也是測地完備流形。

伯格分类

1955年，馬塞爾·伯格將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

$\mathrm {Hol} (g)$	$\mathrm {dim} (M)$	流形類型	備註
正交群$SO(n)$	$n$	可定向流形	—
酉群$U(n)$	$2n$	凯勒流形	凱勒
特殊酉群$SU(n)$	$2n$	卡拉比–丘流形	里奇平、凱勒
辛群$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	超凱勒流形	里奇平、凱勒
$\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	$4n$	四元數凱勒流形	愛因斯坦
例外單李群$G_{2}$	$7$	G2流形	里奇平
旋量群$\mathrm {Spin} (7)$	$8$	Spin(7)流形	里奇平

1965年，愛德蒙·博南及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為$\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$的流形，構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南於1966年最早引入和樂群為$G_{2}$或$\mathrm {Spin} (7)$的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除$\mathrm {Spin} (9)$（作為$SO(16)$的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面$F_{4}/\mathrm {Spin} (9)$局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見$G_{2}$流形和$\mathrm {Spin} (7)$流形。

注意$\mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)$，故超凱勒流形必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是$\mathrm {Spin} (9)$（作用於$\mathbb {R} ^{16}$），以及$U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)$（作用於$\mathbb {R} ^{4m}$）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

和樂群	度量符號
$SO(p,q)$	$(p,q)$
$U(p,q)$	$(2p,2q)$
$SU(p,q)$	$(2p,2q)$
$\mathrm {Sp} (p,q)$	$(4p,4q)$
$\mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	$(4p,4q)$
$SO(n,\mathbb {C} )$	$(n,n)$
$SO(n,\mathbb {H} )$	$(2n,2n)$
分裂$G_{2}$	$(4,3)$
$G_{2}(\mathbb {C} )$	$(7,7)$
$\mathrm {Spin} (4,3)$	$(4,4)$
$\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$	$(7,7)$
$(*)\ \mathrm {Spin} (5,4)$	$(8,8)$
$(*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )$	$(16,16)$

但是，標$(*)$的兩種和樂群（分裂$\mathrm {Spin} (9)$及複化$\mathrm {Spin} (9)$），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群$SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為$SO(n,\mathbb {H} )$子群的流形，R. McLean證明其為局部平。

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間$G/H$同構，其局部和樂群同構於$H$，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：

• $\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)$，當且僅當$M$上存在平行的射影純旋量場。
• 若$M$為旋量流形，則$\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)$，當且僅當$M$具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到$SU(n)$的典範歸約。
• 若$M$是七維旋量流形，則$M$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是$G_{2}$的子群。
• 若$M$為八維旋量流形，則$M$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是$\mathrm {Spin} (7)$的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形一同研究。

應用

弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具$SU(2)$或$SU(3)$和樂的卡拉比–丘流形上，以及$G_{2}$流形上。

機器學習

在机器学习，尤其流形學習方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：Geometric Manifold Component Estimator，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

仿射和樂

仿射和樂群（英語：affine holonomy groups），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（英語：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間、四元數凱勒對稱空間之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設$V$為有限維複向量空間，$H\subseteq \mathrm {Aut} (V)$為不可約半單複連通李子群，又設$K\subseteq H$為極大緊子群。

1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如$G/(U(1)\cdot K)$，則$H$和$\mathbb {C} ^{*}\cdot H$兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中$V$為$K$的切表示。
2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如$G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)$，則$H$為非對稱不可約仿射和樂群，而當$\dim V=4$時，$\mathbb {C} ^{*}\cdot H$亦然。此時，$\mathrm {Sp} (1)\cdot K$的複化切表示是$\mathbb {C} ^{2}\otimes V$，而$H$保$V$上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

${\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}$

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

${\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}$

其中$Z_{\mathbb {C} }$可取平凡群，亦可取為$\mathbb {C} ^{*}$。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

${\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}$

（第二行中，$Z_{\mathbb {C} }$必須取為平凡群，除非$n=2$，此時可取為$\mathbb {C} ^{*}$。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

参见

• A-B效应

参考文献

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