有序向量空间

数学中,有序向量空间(ordered vector space)是带有偏序向量空间,并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称偏序向量空间(partially ordered vector space)。

中的一点以及集合(红色)。此处的序定义为当且仅当

定义

给定实数 上的向量空间 以及集合 上的预序 ,如果对 中任意的 以及非负实数 ,以下公理成立

  1.  
  2.  

则有序对 称为预序向量空间(preordered vector space)。若 还是偏序,则 称为有序向量空间。这两条公理说明,平移与正的位似变换是序结构的自同构,并且映射 是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群

正锥

给定预序向量空间 ,子集 是一个凸锥,称为 正锥(positive cone)。若 是有序向量空间,则 ,因此 还是真锥。

 是实向量空间,  的真凸锥,则存在唯一的偏序使得 成为有序向量空间并且 。这个偏序由以下方式给出

 当且仅当 

因此,向量空间 上(与向量空间结构相容)的偏序与 的真凸锥之间存在一一对应。

例子

  • 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。
  • 以下关系都是 上的偏序,且按照从弱到强的顺序排列。
    1. 字典序 当且仅当  。这是一个全序。正锥由条件  给出。用极坐标表示,正锥就是由角度满足 的点再加上原点组成。
    2.  当且仅当  (这实际上就是两个偏序集 的乘积序)。这是一个偏序。正锥由 给出。在极坐标中就是 ,再加上原点。
    3.  当且仅当  ,也就是两个 直积的反射闭包。正锥由  给出。在极坐标系中,就是 ,再加上原点。


只有第二个序是闭集(作为 的子集)。

  • 仿照 的情况,可以在 上定义类似的偏序。例如,仿照上面提到的第二个序,可以定义:
    •  当且仅当 
  • 里斯空间是有序向量空间,并且还是
  •  上的连续函数组成的空间, 当且仅当对任意 

备注

偏序向量空间中的区间是凸集。设 ,由上面的两个公理可以得出:如果 ,则 

参见

参考文献

  • 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
  • Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
  • Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.