有序向量空间

在数学中，有序向量空间（ordered vector space）是带有偏序的向量空间，并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称偏序向量空间（partially ordered vector space）。

$\mathbb {R} ^{2}$中的一点$x$以及集合$\{y|x\leq y\}$（红色）。此处的序定义为$x\leq y$当且仅当$x_{1}\leq y_{1}$且$x_{2}\leq y_{2}$。

定义

给定实数$\mathbb {R}$上的向量空间$V$以及集合$V$上的预序$\leq$，如果对$V$中任意的$x,y,z$以及非负实数$\lambda$，以下公理成立

1. $x\leq y\implies x+z\leq y+z$
2. $x\leq y\implies \lambda x\leq \lambda y$

则有序对$(V,\leq )$称为预序向量空间（preordered vector space）。若$\leq$还是偏序，则$(V,\leq )$称为有序向量空间。这两条公理说明，平移与正的位似变换是序结构的自同构，并且映射$x\mapsto -x$是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群。

正锥

给定预序向量空间$V$，子集$V^{+}=\{x\in V|x\geq 0\}$是一个凸锥，称为$V$的正锥（positive cone）。若$V$是有序向量空间，则$V^{+}\cap (-V^{+})=\{0\}$，因此$V^{+}$还是真锥。

若$V$是实向量空间，$C$是$V$的真凸锥，则存在唯一的偏序使得$V$成为有序向量空间并且$V^{+}=C$。这个偏序由以下方式给出

$x\leq y$当且仅当$y-x\in C$

因此，向量空间$V$上（与向量空间结构相容）的偏序与$V$的真凸锥之间存在一一对应。

例子

• 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。
• 以下关系都是$\mathbb {R} ^{2}$上的偏序，且按照从弱到强的顺序排列。
  1. 字典序：$(a,b)\leq (c,d)$当且仅当$a<c$或$(a=c,b\leq d)$。这是一个全序。正锥由条件$x>0$或$(x=0,y\geq 0)$给出。用极坐标表示，正锥就是由角度满足$-{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}}$的点再加上原点组成。
  2. $(a,b)\leq (c,d)$当且仅当$a\leq c$且$b\leq d$（这实际上就是两个偏序集$(\mathbb {R} ,\leq )$的乘积序）。这是一个偏序。正锥由$x\geq 0,y\geq 0$给出。在极坐标中就是$0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$，再加上原点。
  3. $(a,b)\leq (c,d)$当且仅当$(a<c,b<d)$或$(a=c,b=d)$，也就是两个$(\mathbb {R} ,<)$的直积的反射闭包。正锥由$(x>0,y>0)$或$x=y=0$给出。在极坐标系中，就是$0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$，再加上原点。

只有第二个序是闭集（作为$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$的子集）。

• 仿照$n=2$的情况，可以在$\mathbb {R} ^{n}$上定义类似的偏序。例如，仿照上面提到的第二个序，可以定义：
  • $x\leq y$当且仅当$x_{i}\leq y_{i}\,(i=1,\cdots ,n)$
• 里斯空间是有序向量空间，并且还是格。
• $[0,1]$上的连续函数组成的空间，$f\leq g$当且仅当对任意$x\in [0,1],\,f(x)\leq g(x)$。

备注

偏序向量空间中的区间是凸集。设$[a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}$，由上面的两个公理可以得出：如果$x,y\in [a,b],\lambda \in (0,1)$，则$\lambda x+(1-\lambda )y\in [a,b]$。

参见

• 偏序空间
• 里斯空间

参考文献

• 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
• Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
• Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.