在数学中,本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F,E可以表示为
的形式,即E可以由单个元素生成。
定理
一个有限扩张E/F有本原元,即存在 使得 ,当且仅当E和F之间只有有限个中间域。
证明
如果 是有限域,由于 是有限扩张,推得 也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群,任取这个乘法群的一个生成元, 可以由这个生成元生成。所以在 是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。
如果 是无限域,但是只有有限个中间域。
先证明一个引理:假设 并且 和 之间只有有限个中间域,那么存在一个 使得 。引理的证明如下:当 取遍 的时候,对于每一个 可以做一个中间域 。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在 使得 。由于 都在这个域里,推得 也在这个域里。由于 ,推得 在这个域里,于是 也在这个域里,因此 ,于是 。引理证毕。
由于有限扩张总是有限生成的,推得 (对于 )。利用归纳法以及引理可以得出,如果 之间只有有限个中间域,那么 可以由单个元素生成。
而如果 ,假设 是 在 上的极小多项式, 是任意一个中间域, 是 在 上的极小多项式。显然 。由于域上的多项式环是唯一分解环, 只有有限个因子。而对于每一个 ,如果 写作 ,并令 。显然 是 的一个子域,因此 在 上依然是不可约的。而同时 ,因此可以得到 。这样立即推 ,于是任何一个中间域 对应唯一的一个 的因子 。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。
推论
- 由于有限可分扩张只有有限个中间域,由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元
参见
参考文献