本原元定理

數學中,本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/FE可以表示為的形式,即E可以由單個元素生成。

定理

一個有限擴張E/F有本原元,即存在 使得 ,若且唯若EF之間只有有限個中間域。

證明

如果 有限域,由於 有限擴張,推得 也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群,任取這個乘法群的一個生成元, 可以由這個生成元生成。所以在 是有限域的情況下,定理左右兩邊恆為真。

如果 是無限域,但是只有有限個中間域。 先證明一個引理:假設 並且  之間只有有限個中間域,那麼存在一個 使得 。引理的證明如下:當 取遍 的時候,對於每一個 可以做一個中間域 。但是由假設,只有有限個中間域,因此必定存在 使得 。由於 都在這個域裡,推得 也在這個域裡。由於 ,推得 在這個域裡,於是 也在這個域裡,因此 ,於是 。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的,推得 (對於 )。利用歸納法以及引理可以得出,如果 之間只有有限個中間域,那麼 可以由單個元素生成。

而如果 ,假設   上的極小多項式 是任意一個中間域,   上的極小多項式。顯然 。由於域上的多項式環唯一分解環 只有有限個因子。而對於每一個 ,如果 寫作 ,並令 。顯然  的一個子域,因此  上依然是不可約的。而同時 ,因此可以得到 。這樣立即推 ,於是任何一個中間域 對應唯一的一個 的因子 。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的,因此中間域個數有限。證畢。

推論

  • 由於有限可分擴張只有有限個中間域,由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元

參見

參考文獻