如果從集合 對自己的笛卡儿积 (也就是 )取出的任意 ,都會對應 的某個值 ,那對應規則 的本身就被稱為二元運算。
通常写为 ,而且比起使用字母,二元运算時常以某种运算符表示,來跟普通的函數作區別。
事實上 這個記號本身就保證了:「只要 就會有 」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性。
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设 是集合 上的二元运算, ,则:
- 称 为一個 的左幺元,若 满足: ;
- 称 为一個 的右幺元,若 满足: ;
- 称 为 的幺元,若 既是左幺元、又是右幺元。
设 是集合 上帶有單位元 的二元运算, 。则:
- 称 是一個 的左逆元,若 满足: 。
- 称 是一個 的右逆元,若 满足: 。
- 称 是 的逆元,若 既是 的左逆元、又是 的右逆元。這種情況下 常被寫作 或 。
设 是集合 上的二元运算, ,则:
- 称 为一個左零元,若 满足: ;
- 称 为一個右零元,若 满足: ;
- 称 为零元,若 既是左零元、又是右零元。
设 是集合 上的帶有零元素 的二元运算, 且 。则:
- 称 是一個左零因子,若 满足: ,使得 。
- 称 是一個右零因子,若 满足: ,使得 。
- 称 是一個零因子,若 既是左零因子、又是右零因子。
设 是集合 上的二元运算,则:
称 满足交换律,若: ;
设 是集合 上的二元运算,则:
称 满足结合律,若: ;
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足左消去律,若 满足:
称 满足右消去律,若 满足:
称 满足消去律,若 同时满足左消去律与右消去律。
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足幂等律,若 满足: ;
幂幺律
设 : 是集合 上的二元运算,i是 在 下的幺元,
则:称 满足幂幺律,若 满足: (显然此时每个元素都是它自己的逆元);
幂零律
设 : 是集合 上的二元运算,z是 在 下的零元,
则:称 满足幂零律,若 满足: ,有 (显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);
设 : 和 : 是集合 上的两个二元运算,则:
- 称 对 满足左分配律,若 , 满足: ,有 ;
- 称 对 满足右分配律,若 , 满足: ,有 ;
- 称 对 满足分配律,若 對 同時滿足左分配律和右分配律。