狄利克雷函数

狄利克雷函数（英語：Dirichlet function）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 $\{0,1\}$ 的函数，用 $D(x)$ 或者 $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 $y$ 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。

在數學領域，這是一個病態函數。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，並且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）。该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。

定義

在實數域上，狄利克雷函数 $D(x)$ 定義為

1. 自变量 $x$ 为有理数时，$D(x)=1$；
2. 自变量 $x$ 为无理数时，$D(x)=0$。

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$

其中 $k$ 和 $j$ 为整数。

性质

• 定义在整个数轴上。
• 无法画出图像。
• 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
• 处处无极限、不连续、不可导。
• 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分，單調收斂定理不成立。
• 是偶函数。
• 它在 $[0,1]$ 上勒贝格可积。

證明

處處不連續

• 若 $y$ 為有理數則 $f(y)=1$。為證明函數在 $y$ 處不連續，問題轉化為對任意 $\varepsilon$，無論 $\delta$ 多麼小，在包含 $y$ 的長度為 $\delta$ 的區間內一點 $z$，$|f(z)-f(y)|\leq \varepsilon$。試取 $\varepsilon =1/2$，由於無理數為實數域上的稠密集，無論 $\delta$ 取何值，總有 $z$ 滿足 $f(z)=0$，讓 $|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2$。

• 若 $y$ 為無理數，同理，因為有理數為實數域上的稠密集，無論 $\delta$ 取何值，總有 $z$ 滿足 $f(z)=1$，讓 $|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2$。