狄利克雷函數

狄利克雷函數(英語:Dirichlet function)是一個判別自變量是有理數還是無理數的函數。定義在實數範圍上、值域函數,用 或者 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函數是一個處處不連續的可測函數,其圖像關於 軸成軸對稱,是一個偶函數。它處處不連續、處處極限不存在、不可積分

在數學領域,這是一個病態函數。作為很多事情的反例,這個函數在任意一點都不存在極限,並且以任意有理數為周期的周期函數(有理數相加得有理數,無理數加有理數還是無理數)。該函數黎曼不可積,而在其它一些積分中是可積的。

定義

實數域上,狄利克雷函數   定義為

  1. 自變量  有理數時, 
  2. 自變量  無理數時, [1]

狄利克雷函數也可以表達為一個連續函數序列的雙重點極限:

 

其中    為整數。

性質

  • 定義在整個數軸上。
  • 無法畫出圖像。
  • 以任何正有理數為其周期(從而無最小正周期)。
  • 處處無極限、不連續、不可導
  • 在任何有界區間上黎曼不可積。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分,單調收斂定理不成立。
  • 是偶函數。
  • 它在  勒貝格可積

證明

處處不連續

  •   為有理數則  。為證明函數在   處不連續,問題轉化為對任意  ,無論   多麼小,在包含   的長度為   的區間內一點   。試取  ,由於無理數為實數域上的稠密集,無論   取何值,總有   滿足  ,讓  
  •   為無理數,同理,因為有理數為實數域上的稠密集,無論   取何值,總有   滿足  ,讓  

參考資料

  1. ^ 同濟大學數學系,「高等數學」第七版 上冊,第九頁 例10