積分常數

積分常數是(英語:Constant of integration)指在微積分中,函數不定積分表示式中會出現的一個待定常數,一般會用C表示,一函數的反導數有無窮多個,但其中除了積分常數不同外,其餘部份均相同[1][2][註 1]

簡介

任何常數函數的導數均為零,因此只要發現一個函數的反導數 ,因為 ,加上或減去一常數C後的函數也是反導數,積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。

例如,假設需要求得  的反導數,   的導數都是 ,因此都是 的反導數。

同一個函數可以有許多的反導數,而這些反導數之間只相差一個常數,因此若要列出  所有的反導數,可以用以下的通式:

 

C即為積分常數,利用下式可以確認這些函數的確都是 的反導數:

 

若利用線性代數的描述方式,微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中,因此其反運算(積分)會多一個待確定的條件[3]

積分常數的必要性

積分常數可以設為0,而且利用微積分基本定理計算定積分時,積分常數會互相抵消,積分常數看似沒有必要。

不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理,例如 可以用以二種方式積分:

 

即使將C設為0,仍然有些積分表示式中會出現常數,也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。

使用積分常數的另一個原因,是有時會需要反導數在特定點為某特定值,就像是初值問題的情形一様。例如要求出 的反導數,且x = π時的值為100,此時C只有一個數值才能滿足此條件(此例中C = 100)。

上述限制可以用微分方程的形式來描述:求解一個函數 的反導數也就是求解微分方程 。任何微分方程都有許多的解,每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中x = π時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的C值,若沒有積分常數C,許多初值問題就無法求解。

不同反導數之間只差一個常數的原因

原因可以用以下定理來表示:令  為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數x 都成立,則存在一實數C使得對於所有的實數x 皆成立。

若要證明此式,由於 ,因此以下用F-G來代替F,而用常數函數0來代替G,待證明為一個處處可微,導數恆為0的函數一定是常數:

選擇一實數a,令 。針對任意的x,依照微積分基本定理可得

 

因此可得 ,因此F為常數函數。

證明過程中,有二個條件相當重要。首先,實數數線為連通空間,若實數數線不是連通空間,就無法從固定的a點積分到任意的x點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義,而a為0,因為函數在1到2之間沒有定義,不可能從0積分到3。此時會有二個常數,分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言,若將常數改為局部常數函數英语locally constant functions,可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如 有二個積分常數,而 有無限個積分常數。1/x積分的一般式為:[4]

 

再者,FG的條件需是處處可微的函數,若FG在某一點不可微,則以上定理不成立。例如令 单位阶跃函数,在x負值時為0,在x非負時為1,令 F在有定義導數的區域,其導數為0,G的導數恆為0,但FG不只差一個常數而已。

甚至假設FG為處處連續,幾乎處處可微,則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。

注释

  1. ^ 積分常數表示在反导数本身有一些模稜两可之處。若針對函數 ,而  的一個反導數,則函數 的所有反導數可以用 來表示,其中C為任意值。有些積分表為了簡單起見,會省略不定積分的積分常數。

參考資料

  1. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Calculus 9th. Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4. 
  3. ^ Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007
  4. ^ "Reader Survey: log|x| + C页面存档备份,存于互联网档案馆)", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012