微分算子

数学中,微分算子(英語:Differential operator)是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上,将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的,它接受一个函数得到另一个函数[註 1][註 2]

记号

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括:  (在不會搞混哪个变量微分時),以及 (指明了变量)。

一阶导数如上所示,但当取更高阶n-次导数时,下列替代性记号是有用的:   

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛,他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

 

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子,定义为

 

另一个微分算子是Θ算子,定义为

 

有时候这也称为齐次算子,因为它的本征函数是关于z的单项式:

 

n个变量中齐次算子由

 

给出。与单变量一样,Θ的本征空间齐次多项式空间。

一个算子的伴随

给定一个线性微分算子T

 

这个算子的伴随定义为算子 使得

 

这里记号 表示数量积点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随

平方可积函数空间中,数量积定义为

 

如果另外增添要求fg  等于零,我们也可定义T的伴随为

 

此公式不明显地取决于数量积的定义,故有时作为伴随算子的一个定义。当 用这个公式定义时,它称为T形式伴随

一个(形式)自伴算子是与它的(形式)伴随相等的算子。

多变量

如果Ω是Rn中一个区域,而P是Ω上一个微分算子,则PL2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义:

 

对所有光滑L2函数fg。因为光滑函数在L2中是稠密的,这在L2的一个稠密子集上定义了伴随:: P*是一个稠定算子

例子

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

 

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

 

这个算子在施图姆-刘维尔理论Sturm–Liouville theory) 中的关键,其中考虑了这个算子本征函数(类比于本征向量)。

微分算子的性质

微分是线性的,即

 
 

这里fg是函数,而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

 

复合微分算子。需要一些注意:首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环,我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二,这个环不是交换的:一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例,如在量子力学中的基本关系:

 

但这些算子的子环:D常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画:它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理shift theorem)。

多变量

同样的构造可对偏导数也成立,关于不同的变量微分给出可交换的算子[註 3]

坐标无关描述以及与交换代数的关系

微分几何代数几何中,通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设  是流形 上两个向量丛。截面的一个 -线性映射 称为一个k-阶微分算子,如果它分解穿过节丛 。换句话说,存在一个向量丛的线性映射

 

使得

 

这里 表示由 ,在截面上诱导的映射,而 ,是典范(或通用)k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面  of   在一个点 的值完全由  k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着   决定,这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理Peetre theorem)证明了逆命题也是正确的:任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的,但纯代数的描述如下: 一个 -线性映射 是一个k-阶微分算子,如果对任何(k + 1)阶光滑函数 我们有

 

这里括号 定义为交换子

 

线性算子的这个刻画说明,它们是一个交换代数上的之间的一个特殊映射,使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子

注释

  1. ^ 计算机科学高阶函数的方式
  2. ^ 当然有理由不单限制于线性算子。例如在只考虑线性的情况下,施瓦茨导数英语Schwarz derivative是一个熟知的非线性算子。
  3. ^ 参见二阶导数的对称性

參見