等势

在数学领域中，两个集合是等势的（英語：equinumerous）意為它们之间存在一个双射。這種性質经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也會用术语 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。

定義

定義 — $A$ 和 $B$ 是二集合，若 $f$ 滿足

• $(\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}$ （$f$ 是$A$ 和 $B$ 間的函数）
• $(\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]$ （每個 $b\in B$ 都可以用 $f$ 的規則對到某 $a\in A$）
• $(\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}$ （$a_{1},\,a_{2}\in A$ 都對到 $b\in B$ 則兩者相等 ）

此時用以下符號簡記：

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$

更進一步的，可以定義：

$A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]$

並可簡稱為$A$ 和 $B$ 是等势的。

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$ 直觀上來說，就是任意 $b\in B$ 都可以透過函数 $f$ 的規則，被唯一的一個 $a\in A$ 對應。而所謂的等勢，就是$A$ 和 $B$ 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。

範例

设$E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}$是全体偶数的集合，那么，它与自然数集$\mathbb {N}$是等势的； 有理数$\mathbb {Q}$与自然数$\mathbb {N}$是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）； 然而，无理数$\mathbb {R} -\mathbb {Q}$与自然数$\mathbb {N}$或有理数$\mathbb {Q}$都不等势（无理数比有理数“个数多”）。

性質

• 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。
• 等勢可構成一個等价关系。

範疇論的等勢

在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。

参见

• 集合范畴
• 基数 (数学)
• 双射