逆序对

一个序列失去自然次序的元素对

计算机科学离散数学中,一个序列的逆序(inversion),是失去自然次序的元素对。

这个置换中的一个逆序对,表示为位置对(2,4)或元素对(5,2)。
这个置换的逆序,使用基于位置表示法表示为:(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)和(2, 5);
或者使用基于元素表示法表示为:(3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2)和(5, 4)。

定義

逆序

 
一个四元素置换的从基于位置逆序到基于元素逆序的映射。

 為一個排列,如果 而且 , 這個位置(有称为“序位”)对 [1][2],或者這个元素对 [3][4][5],被稱為是 的一個逆序。

逆序集是所有逆序的集合。一個排列 的使用基于位置表示法的逆序集,相同于其反向排列 的使用基于元素表示法的逆序集,只有每个有序对的两个分量交換位置,反之亦然[6]

通常逆序是對於排列的定義,但也可以用於序列: 設 是一個序列(或多重集排列[7])。如果 而且 , 這個位置对 [7][8],或者這个元素对 [9],被稱為是 的一個逆序。

對於序列,根據基于元素定义的逆序不是唯一性的,因為不同的位置对上可能有相同的值對。

逆序數

序列 逆序數 [10],是逆序集的,它常用於量度排列[5]或序列[9]的已排序程度(有时叫做预排序度presortedness)。逆序数在  之间,含二者。

在一個排列的箭頭指向圖中,它是箭頭指向相交叉的數[6],也是從单位排列而得到的Kendall tau距離英语Kendall tau distance,以及每個与逆序有關的向量之和,它们在后面章节中定義。

對於逆序數,基于位置与基于元素定義之间的分別並不重要,因為排列及其反向排列都具有相同的逆序數。

其它測量(預先)排序程度的方式,包括了為排好序列而從序列中可以刪除元素的最小數量,對序列所“運行”排序的次數和長度,每個元素在已排序位置之上的距離總和(Spearman footrule),以及排序過程中必需的最少交換次數[11]。比較排序算法計算逆序數的時間為 [12]

目前求逆序对数目比较普遍的方法,是利用归并排序做到 时间复杂度;也可以利用树状数组、线段树来实现这种基础功能。复杂度均为 

逆序有關的向量

有三個類似的向量用於將排列的逆序,壓縮到能唯一確定它的这个向量中。它們通常被稱為逆序向量Lehmer碼英语Lehmer code。这里的定义及公式来源于逆序 (离散数学)

本文將逆序向量記為 [13],其它的兩個向量有時分別稱為“左”和“右”逆序向量;為了避免與前面的逆序向量混淆,本文將另兩個分別稱為“左逆序計數” 和“右逆序計數” 。左逆序計數是以反向colexicographic次序的排列[14],右逆序計數則是以字典序的排列。

 
Rothe图

逆序向量 
采用基于元素的定義, 是有序对較小(右)分量為 的逆序數[3]

 是在 之中于 之前,大于 的元素的數量。
 

其更符合直觉的定义方式为:

 是在 之中于 之前,大于 的元素的数量。
 

后者定义也适用于没有反向对应者的序列。

左逆序計數 
采用基于位置的定義, 是有序对較大(右)分量為 的逆序數。

 是在 之中于 之前,大于 的元素的數量。
 

右逆序計數 ,通常稱為Lehmer碼
采用基于位置的定義, 是有序对較小(左)分量為 的逆序數。

  之中于 之後,小于 的元素的數量。
 

  之间的关系:

 

 

 的第一个数字和 的最后一个数字总是 ,可以省略。

Rothe圖可以協助找出  Rothe英语Heinrich August Rothe圖是以黑點來表示1的排列矩陣,每一個位置上若為逆序(通常以叉號表示),則在其右側與下方即有一點。 是圖中第 列排列逆序的加總,而  欄中排列逆序的加總。排列矩陣的逆矩阵即是此矩陣的轉置矩陣,因此某一排列的 即是它轉置矩陣的 ,反之亦然。

  之间的关系:

 

範例:四個元素的全部排列

 
四個元素的6種可能逆序

下面可排序表顯示了四個元素的集合,它的逆序集會有不同位置的24種排列、逆序相關向量和逆序數(右欄是它的反向排列,用於以colex排序)。可以看出  的位數總是相同,而  與位逆序集有關。 最右側欄是排列左上右下對角線的總和,如三角形圖示,以及 是左下右上對角線的總和(配對在下降對角線中其右側都是 組成,而在上升對角線中的左側都是 組成)。 此表中 的預設排序是反向colex次序,這與 的colex次序相同。 的字典序與 的字典序相同。

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
      p-b   #
0   1234 4321 0000 0000 0000 0000   0000 0000 0
1   2134 4312 1000 0001 0010 0100   1000 0001 1
2   1324 4231 0100 0010 0100 0010   0100 0010 1
3   3124 4213 1100 0011 0110 0110   2000 0002 2
4   2314 4132 2000 0002 0200 0020   1100 0011 2
5   3214 4123 2100 0012 0210 0120   2100 0012 3
6   1243 3421 0010 0100 1000 0001   0010 0100 1
7   2143 3412 1010 0101 1010 0101   1010 0101 2
8   1423 3241 0110 0110 1100 0011   0200 0020 2
9   4123 3214 1110 0111 1110 0111   3000 0003 3
10   2413 3142 2010 0102 1200 0021   1200 0021 3
11   4213 3124 2110 0112 1210 0121   3100 0013 4
12   1342 2431 0200 0020 2000 0002   0110 0110 2
13   3142 2413 1200 0021 2010 0102   2010 0102 3
14   1432 2341 0210 0120 2100 0012   0210 0120 3
15   4132 2314 1210 0121 2110 0112   3010 0103 4
16   3412 2143 2200 0022 2200 0022   2200 0022 4
17   4312 2134 2210 0122 2210 0122   3200 0023 5
18   2341 1432 3000 0003 3000 0003   1110 0111 3
19   3241 1423 3100 0013 3010 0103   2110 0112 4
20   2431 1342 3010 0103 3100 0013   1210 0121 4
21   4231 1324 3110 0113 3110 0113   3110 0113 5
22   3421 1243 3200 0023 3200 0023   2210 0122 5
23   4321 1234 3210 0123 3210 0123   3210 0123 6

排列的弱次序

 
对称群的Permutohedron S4

n物品排列的集合其部份次序的結構,稱為排列的弱次序,而構成。 以逆序集的子集關係繪出的哈斯圖,則構成了稱為permutohedron的骨架。 如果依位置將某一排列分配給每個逆序集,所得到的排序是permutohedron的次序,其中的邊對應於連續兩元素的交換。這是排列的弱排序。The identity is its minimum, and the permutation formed by reversing the identity is its maximum. 如果依元素將某一排列分配給每個逆序集,所得到的排序將是凱萊圖的次序,其中的邊對應於連續兩元素的交換。對稱組的凱萊圖與其permutohedron相似,但是每個排列由其反向替換。

参见

引用

  1. ^ Aigner 2007,第27頁.
  2. ^ Comtet 1974,第237頁.
  3. ^ 3.0 3.1 Knuth 1973,第11頁.
  4. ^ Pemmaraju & Skiena 2003,第69頁.
  5. ^ 5.0 5.1 Vitter & Flajolet 1990,第459頁.
  6. ^ 6.0 6.1 Gratzer 2016,第221頁.
  7. ^ 7.0 7.1 Bóna 2012,第57頁.
  8. ^ Cormen et al. 2001,第39頁.
  9. ^ 9.0 9.1 Barth & Mutzel 2004,第183頁.
  10. ^ Mannila 1985.
  11. ^ Mahmoud 2000,第284頁.
  12. ^ Kleinberg & Tardos 2005,第225頁.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Inversion Vector"页面存档备份,存于互联网档案馆) From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  14. ^ Reverse colex order of finitary permutations (OEIS數列A055089

参考书目

延伸阅读

  • Margolius, Barbara H. Permutations with Inversions. Journal of Integer Sequences. 2001, 4. 

预排序度测度