雙曲線扇形

雙曲線扇形是指在一個笛卡儿坐标平面${(x,y)}$ 之上，雙曲線$xy=1$與從原點$(0,0)$出發的兩條射線相交處的兩點$(a,1/a)$和$(b,1/b)$之間的面積。

一個標準位置的雙曲線扇形有$a=1$及$b>1$。

處於標準位置的雙曲線扇形的面積是 $\ln b$ 。

證明：

黃色部分的面積相等於三角形${(0,0),(1,0),(1,1)}$的面積加上雙曲線底下從$1$ 到$b$ 的面積，再減去白色三角形${(0,0),(b,0),(b,1/b)}$的面積。所以，黃色部分的面積為：

$\int _{1}^{b}{dx \over x}+{1 \over 2}-{1 \over 2}\times b\times {1 \over b}=\int _{1}^{b}{dx \over x}=\ln b$

處於標準位置的雙曲線扇形與正值的雙曲角相對應。