双曲线扇形

双曲线扇形是指在一个笛卡儿坐标平面${(x,y)}$ 之上，双曲线$xy=1$与从原点$(0,0)$出发的两条射线相交处的两点$(a,1/a)$和$(b,1/b)$之间的面积。

一个标准位置的双曲线扇形有$a=1$及$b>1$。

处于标准位置的双曲线扇形的面积是 $\ln b$ 。

证明：

黄色部分的面积相等于三角形${(0,0),(1,0),(1,1)}$的面积加上双曲线底下从$1$ 到$b$ 的面积，再减去白色三角形${(0,0),(b,0),(b,1/b)}$的面积。所以，黄色部分的面积为：

$\int _{1}^{b}{dx \over x}+{1 \over 2}-{1 \over 2}\times b\times {1 \over b}=\int _{1}^{b}{dx \over x}=\ln b$

处于标准位置的双曲线扇形与正值的双曲角相对应。