马丟函数(法語:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬丢因研究数学物理所推得的特殊函數,下列马丟方程的解析解:
MathieuCE 3D
MathieuSE 3D
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04350d53213611e9b1c2cd83f8541ee52b225496)
马丟方程有两个线性无关的解:
- 奇数解
MathieuCE(n, q, x),或记为
,
- 偶数解
MathieuSE(n, q, x).或记为
称为基本解[1]
周期性
马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为 或 的周期解,另一个不是。
马丟函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为 (n≥2)的周期函数。
[1]
正交性
-
-
-
特征方程
Mathieu Eigen value a(n,q)
Mathieu eigenvalue b(n,q)
马丟方程的特征方程是[1]
对于给定的v,q, 上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。
特征值的展开
马丟函数体特征值可展开成级数:[2]
级数展开
马丟函数ce,se的级数展开[3]
傅立叶展开式
马丟函数的傅立叶展开:[3]
-
-
-
-
其中系数A,B满足下列递归关系:[3]
关系式
马丟方程的基本解 满足下列关系:[3]:
- =
郎斯基行列式:
特例
-
-
-
-
-
-
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
夫洛开解
Mathieu Floquet
马丟函数中,如果 是一个周期为 的解,并满足下列条件
,其中 与x 无关,则此解称为夫洛开解。
- 级数展开
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 王竹溪 郭敦仁 603 引用错误:带有name属性“W”的
<ref>
标签用不同内容定义了多次
- ^ Frank p659
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Frank p660 引用错误:带有name属性“F”的
<ref>
标签用不同内容定义了多次
- 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 第十二章 马丟函数 北京大学出版社 2000
- Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010