馬丟函數

馬丟函數(法語:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬丟法語Émile Mathieu因研究數學物理所推得的特殊函數,下列馬丟方程的解析解:

MathieuCE 3D
MathieuSE 3D

馬丟方程有兩個線性無關的解:

奇數解

MathieuCE(n, q, x),或記為,

偶數解

MathieuSE(n, q, x).或記為 稱為基本解[1]

周期性

馬丟函數 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一個是周期為   的周期解,另一個不是。

馬丟函數 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 兩者都有是周期為 (n≥2)的周期函數。 [1]

正交性

  •  
  •  
  •  

特徵方程

 
Mathieu Eigen value a(n,q)
 
Mathieu eigenvalue b(n,q)

馬丟方程的特徵方程是[1]

 

 

對於給定的v,q, 上列特徵方程給出無窮多個a、b解稱為特徵值。

特徵值的展開

馬丟函數體特徵值可展開成級數:[2]

       

         

級數展開

馬丟函數ce,se的級數展開[3]

         

         

傅立葉展開式

馬丟函數的傅立葉展開:[3]

  •  
  •  
  •  
  •  

其中係數A,B滿足下列遞歸關係:[3]


 

 

 

 

 

關係式

馬丟方程的基本解 滿足下列關係:[3]:

 =  

郎斯基行列式:  

       


   

特例

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

夫洛開解

 
Mathieu Floquet

馬丟函數中,如果  是一個周期為 的解,並滿足下列條件

 ,其中 與x 無關,則此解稱為夫洛開解。

級數展開

     

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 王竹溪 郭敦仁 603 引用錯誤:帶有name屬性「W」的<ref>標籤用不同內容定義了多次
  2. ^ Frank p659
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Frank p660 引用錯誤:帶有name屬性「F」的<ref>標籤用不同內容定義了多次
  • 王竹溪 郭敦仁 《特殊函數概論》 第十二章 馬丟函數 北京大學出版社 2000
  • Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010