克鲁尔维数

在交换代数中，一个环的克鲁尔维数定义为素理想链的最大长度。此概念依数学家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

定义

设交换环 $R$ 中有 $n+1$ 个素理想 $P_{0},\ldots ,P_{n}$，使得

$P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}$

则称之为长度为 $n$ 的素理想链，一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。$R$ 的克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度，这也等于是 $R$ 中素理想的最大可能高度。

根据定义， $R$ 的维数与对素理想的局部化有下述关系

$\dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}$

其中 $\mathrm {Spec} R$ 表 $R$ 的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想的 ${\mathfrak {p}}$。当 $R$ 为链环时，对各极大理想的局部化皆有相同维数；代数几何处理的交换环通常都是链环。

例子与性质

例如在环 $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]$ 中可考虑以下的素理想链

$(2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)$

因此 $\dim(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]\geq 3$；事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质：

• 零维的整环是域。
• 离散赋值环与戴德金整环是一维的。
• 若 $\dim R=k$，则 $k+1\leq \dim R[X]\leq 2k+1$；当 $R$ 为诺特环时则 $\dim R[X]=k+1$。
• 若 $k$ 为域，则 $\dim k[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$。
• 若 $B$ 为 $A$-代数，同时又是有限生成的 $A$-模，则 $\dim B=\dim A$。

与几何的关系

在代数几何中，一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界；对于仿射概形 $X=\mathrm {Spec} A$，则回归到 $\dim X=\dim A$。

设 $k$ 为域，$R$ 是有限型 $k$-整代数，这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理，存在非负整数 $d$ 及 $R$ 中彼此代数独立的元素 $x_{1},\ldots ,x_{d}$ ，使得 $R$ 是有限生成之 $k[x_{1},\ldots ,x_{d}]$-模，因此 $\dim R=d$。从几何观点看，$\mathrm {Spec} R$ 此时是 $\mathbb {A} _{k}^{d}$ 的有限分歧覆盖，因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观：

1. $\dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d$
2. 若 $X\rightarrow Y$ 是分歧覆盖，则 $\dim X=\dim Y$。

特别是当 $k=\mathbb {C}$ 时，代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。

文献

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9