割圆八线

割圆八线是割圆术之一,与三角学和三角函数相关,主要用于测量。八线指割圆有八个线段,分别为正弦余弦正切余切、正割、余割、正矢、余矢。[1]

割圆八线

大明崇祯历书,有割圆八线表,其列举了各线的数值,相当于一张三角函数表。而大清梅文鼎,亦有著作《平三角举要》,其主要讲述三角学,其中也有使用到割圆八线的概念。[2][3]

割圆八线与历法有关。其之所以跟历法有关是因为圭表求日影,以定季节。天文计算也会用到割圆八线。

说明

 
弓上了弦,但未张的形状。弦为铅垂线
 
如射箭张弓,横为矢向,弦化为斜线

为了方便说明割圆八线,一圆以一条过圆心的水平线和一条过圆心的铅直将圆评分成四份,每份有一个直角,圆边就是弧。

以分割出的四份中,左上角的那一份为例,即丁丙庚的部分。圆心直角在丁。从圆心射出一条斜的射线,交圆周于乙,并从乙向外持续延伸。如此一来,直角就被分成了两份,靠近x轴的那一份称为正角,另一份称为余角。[3]而正角一侧的圆周上的弧称为正弧,即弧线乙丙;余角一侧的圆周上的弧称为余弧,即弧线乙庚。[4]

割圆的图像结构与射箭类似,弓有弧、弦和矢。弦为扣在弧上下的直线,而矢就是箭,是横放,以备射向目标。射箭时张弓,扣矢拉弦,弦矢的端点就有两个角,弦线化为斜线。

算经借为割圆之用。直线划过圆称为弦,有如弓的弦状。弓弦未拉时是铅垂线,即线段甲乙。弓弦拉斜线到圆心,就是线段乙丁,为圆的半径。而丙丁横线,就矢的方向。割圆叫与圆周相切的线,称为切线。丙戊和庚辛都是切线。

正角方向的弦,叫正弦,即线段甲乙。线段甲乙和线段丙丁,相交成直角。相切到到圆周切点为丙的切线,和斜线相交在戊,丙戊这条铅垂线称为正切。斜线丁戊则线称正割。线段甲丙,有如未张弓的矢,称为正矢。

这样就得出正弦、正切、正割、正矢。

类似地,可以用如上的概念在余角上做一遍得到余弦、余切、余割、余矢,过程等同于横直倒转。

割圆八线在零度与直角之间的线长由下表给出:

线名 线 正角为零度

余角为直角

正角为直角

余角为零度

正弦 甲乙 半径
正切 丙戊 同正割,无穷大
正割 丁戊 半径 同正切,无穷大
正矢 甲丙 半径
余弦 乙己 半径
余切 庚辛 同余割,无穷大
余割 丁辛 同余切,无穷大 半径
余矢 己庚 半径

参见

参考文献

  1. ^ 數說新語. 生活通识. {开学文化事业股份有限公司. 2014: 114. ISBN 9789868926462. 
  2. ^ 梅文鼎. 測算名義. 《平三角举要》. 
  3. ^ 3.0 3.1 彭良祯. 《平三角舉要》與《方圓羃積》初探. HPM通讯 (国立台湾师范大学数学系). [2023-11-05]. (原始内容存档于2013-08-04). 
  4. ^ 方恺. 平三角附測量 (PDF). 代数通艺录 (成文堂刊本). 1890, 卷十三 [2023-11-06]. (原始内容存档 (PDF)于2023-03-26).