数学上,平方数,或称完全平方数,是指可以写成某个整数平方的数,即其平方根整数的数。例如,9 = 3 × 3,它是一个平方数。

函数图形

平方数也称正方形数,若 n 为平方数,将 n 个点排成矩形,可以排成一个正方形

若将平方数概念扩展到有理数,则两个平方数的比仍然是平方数,例如, (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因数,则称其为无平方数因数的数

前n个平方数

OEIS数列A000290):

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500

表达式

一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵,使得每行每列的点都一样多。

12 = 1  
22 = 4  
32 = 9  
42 = 16  
52 = 25  
通项公式

对于一个整数 n,它的平方写成 n2n2等于头 n 个正奇数的和( )。在上图中,从1开始,第 n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数,如 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数:9。

递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到,递推公式为  。例如,2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62

连续整数的和

平方数还可以表示成 n2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如,42 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列,即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如, 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

性质

  • 十进制中,平方数只能以 1,4,6,9 或 00 25 结尾。
  1. 若一个数以 0 结尾,它的平方数以 0 结尾(除 0 外,其他数字的个位和十位数字都是 0 ),且00前面的数也是平方数(例如:0x0=0、10x10=100)
  2. 若一个数以 1 或 9 结尾,它的平方数以 1 结尾,且前面的两位数字构成的两位数能被 4 整除(例如:1x1=1、11x11=121;9x9=81、19x19=361)
  3. 若一个数以 2 或 8 结尾,它的平方数以 4 结尾,且前面的一位数字为偶数(例如:2x2=4、12x12=144;8x8=64、18x18=324)
  4. 若一个数以 3 或 7 结尾,它的平方数以 9 结尾,且前面的两位数字构成的两位数能被 4 整除(例如:3x3=9、13x13=169;7x7=49、17x17=289)
  5. 若一个数以 4 或 6 结尾,它的平方数以 6 结尾,且前面的一位数字为奇数(例如:4x4=16、14x14=196;6x6=36、16x16=256)
  6. 若一个数以 5 结尾,它的平方数以 25 结尾,且前面的一位或两位数字必定为 0,2,06,56 之一,25前面的数是普洛尼克数(例如:5x5=25、15x15=225)

至于为什么祇能以00、25结尾,可以将该数字除以100。可以发现,n.5若写成分数形式,则为(2n+1)/2。设2n+1=p,则p与n互质。根据完全平方公式可得,( 2n/2 + 1/2 )^2=n^2 + 1 + 0.25。由于前面均为整数,所以最终结果小数部分必为.25。乘以100后,则最后两位必为25。

  1. 若一个数同时是2和3的倍数(也就是为6的倍数),它的平方数以 0 结尾,且前面的一位数字为0或3。
  2. 若一个数既不是2的倍数也不是3的倍数(也就是与12互质),它的平方数以 1 结尾,且前面的一位数字为偶数。
  3. 若一个数是2的倍数但不是3的倍数,它的平方数以 4 结尾,且前面的一位数字除以4的余数为0或1(也就是说,前一位数为0,1,4,5,8,9)。
  4. 若一个数不是2的倍数而是3的倍数,它的平方数以 9 结尾,且前面的一位数字为0或6。
  • 每4个连续的自然数相乘加 1,必定会等于一个平方数,即 [1][2][注 1]
  • 平方数必定不是完全数[注 2]
  • 平方数必定是3的倍数或者3的倍数+1。
  • 平方数必定是4的倍数或者4的倍数+1。
    (以上两者均包括 0 ( 0 倍))
  • 0以外的平方数每一位数数字相加之和,不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 4, 9, 7 。[注 3]
  • 是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题,对9000000以内的数目是正确的。[3]
  • 除了00以外,平方数末2位数若相同,必为44:如122=144,382=1444,622=3844。
  • 除了000以外,平方数末3位数若相同,必为444:如382=1444,4622=213444。[4]
  • 除了0000以外,平方数末4位数不可能相同。
  • 除了0以外,平方数不可能是普洛尼克数[注 4]
  • 除了0以外,平方数也不可能是连续若干个(至少两个)数的积。
  • 除了0,1,144以外,平方数不可能是费波那契数[5]

注释

  1. ^ 更一般地,任何整数等差数列连续4项之乘积加上公差的4次方必为平方数,亦即a(a+d)(a+2d)(a+3d)+d4=(a2+3ad+d2)2。当公差d=1时,即为前述性质。
  2. ^ 因为完全数的正因数总和(含自己)必为偶数,但平方数的正因数总和必为奇数。
  3. ^ 亦即0以外的平方数必为9的倍数+1, 9的倍数+4, 9的倍数+9, 9的倍数+7 。
  4. ^ 因为n与(n+1)差1,所以两数互质,故若n×(n+1)为平方数,则n与(n+1)也皆为平方数,2个平方数差1,则必为0与1,因此唯一的普洛尼克数兼平方数为0=0×1。

参考资料

  1. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A062938 (a(n)= n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = (n^2 +3*n + 1)^2.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  2. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A028387. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  3. ^ 《数论妙趣》267页[美国]阿尔伯特-贝勒著 谈祥柏译,上海教育出版社,ISBN 9787532054732
  4. ^ Bernard Schott. Numbers m such that m^2 ends in 444.. 整数数列线上大全. 2019-10-31 [2023-05-27]. (原始内容存档于2023-05-27). 
  5. ^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. (原始内容存档于2012-06-30). Theorem 3. If Fn = x2, then n = 0, ±1, 2 or 12. 
  6. ^ D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, NY, 1986, 600.
  7. ^ D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 165 (Rev. ed. 1997).
  8. ^ 郭耀元. 探討完全平方數在數論領域中之研究 (PDF). 私立高英高级工商职业学校. (原始内容 (PDF)存档于2018年1月6日). 

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