拉伐尔喷管

拉伐尔喷管（de Laval nozzle, 亦称渐缩渐阔喷管，convergent-divergent nozzle、CD nozzle或con-di nozzle）是一个中间收缩、不对称沙漏状的管子。借由将流体的热能转化为动能，可将通过它的热压缩气体加速到超音速。气体在截面积最小处恰好达到音速。 被广泛用作蒸汽涡轮机及火箭发动机喷管，亦可见于超音速喷气发动机。 类似的流动性质已经应用于天体物理学中的喷气流。

拉伐尔喷嘴 速度由左至右增加

拉伐尔喷管示意图，显示流体速度(V)、温度(T)及压力(P)在通过拉伐尔喷管时的变化

历史

公元1888年，由瑞典发明家Gustaf de Laval开发，并使用在蒸汽涡轮机上。

最早被罗伯特·戈达德用作火箭发动机，大多数使用高温燃烧气体的现代火箭发动机都使用拉伐尔喷管。

运作

其操作有赖于亚音速和超音速气体的不同特性。 如果由于质量流量不变而管道变窄，则亚音速气体流速将会增加。 通过拉伐尔喷管的气流是等熵的（气体熵几乎不变）。在亚音速流中，气体是可压缩的，声音会通过它传播。 在横截面面积最小的喉部，气体速度局部达到声速（马赫数= 1.0），这种状况称为阻流。 随着喷管横截面积的增加，气体开始膨胀，气流加速到超音速，在那里声波不会通过气体向后传播（马赫数> 1.0）。

运作情况

只有在通过喷管的压力和质量流量足以达到音速的状况下，拉伐尔喷管会在喉部产生阻流现象。若是没有达到条件，则不会有超音速气流产生，此时运作方式较接近文氏管。这要求喷管的入口压力始终显著高于环境压力（亦即喷流的静止压力必须高于环境压力）。

另外，喷管出口处的气体压力不能太低。出口压力虽然可以低于其排出的环境压力，但是如果低得太超过，那么气流将不再为超音速，或者将在喷管的扩张部剥离，形成喷管内的紊流，产生侧向推力并可能损坏喷管。

实务上，出口处超音速气流压力必须高于约2-3倍环境压力，气体才能离开喷管。

气流状态分析

通过拉伐尔喷管的气流分析涉及许多概念和假设：

• 为简单起见，气体被认为是理想的气体
• 气体流动是等熵过程。在此假设下，流动是可逆的（无摩擦及消耗），并且绝热（即没有获得或失去热量）
• 在推进剂燃烧期间气流稳定且恒定
• 气流方向沿着一条从气体入口到废气出口的直线（即，沿着喷管的对称轴线）
• 气流行为是可压缩的，因为有着极高的流速（马赫数> 0.3）

排气速度

气体以亚音速进入喷管，随着喷管收缩，气体被迫加速，直到截面积最小的喷管喉部时，恰好达到音速。扩张部从喉部开始，截面积逐渐加大，气体跟着膨胀，渐渐超越音速。 可用以下等式来计算排出气体的线速度：

$v_{e}={\sqrt {{\frac {TR}{M}}\cdot {\frac {2\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[1-\left({\frac {p_{e}}{p}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\right]}},$

代号解释:
$v_{e}$	= 喷管出口处的排气速度
$T$	= 输入气体的绝对温度
$R$	= 理想气体常数
$M$	= 气体莫耳质量
$\gamma$	= ${\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ = 等熵扩张因子
	($c_{p}$ and $c_{v}$ 分别是定压和定容的气体的比热),
$p_{e}$	= 喷管出口处气体的绝对压力
$p$	= 输入气体的绝对压力

一些典型火箭发动机推进剂的排气速度$v_{e}$值如下：

• 单组元液体推进剂1,700～2,900m / s（3,800～6,500mph）
• 双组元液体推进剂2,900～4,500m / s（6,500～10,100mph）
• 固体推进剂2,100～3,200m / s（4,700～7,200mph）

值得注意的一点是，基于排出气体表现为理想气体的假设，$v_{e}$有时也被称作理想排气速度。

使用上述等式的举例如下： 假定推进剂燃烧后排出气体：进入喷管的绝对压力$p$ = 7.0MPa，并在绝对压力$p_{e}$ = 0.1MPa下离开火箭排气口。在绝对温度$T$ = 3500K下，具有等熵膨胀因子γ= 1.22和莫耳质量$M$ = 22kg / kmol。 使用上述公式计算可得出排气速度$v_{e}$ = 2802 m / s（2.80 km / s），这与上述典型值一致。

在阅读技术文献时可能感到困惑，因为许多作者并没有解释他们是使用理想气体常数$R$，或者他们使用气体定律常数$R_{s}$，这只适用于特定气体。 两个常数之间的关系是$R_{s}$ = $R$ / $M$。

推导

音速是一个与密度有关的量。流体速度与音速的比值被称为马赫数：

$M={\frac {c}{a}}$ …… (1)

由欧拉方程和理想气体状态方程式可得出：

$dp/d\rho =a^{2}$:

$c{\frac {dc}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{d\rho }}{\frac {d\rho }{dx}}=-{\frac {a^{2}}{\rho }}{\frac {d\rho }{dx}}$,

${\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dx}}=-M^{2}{\frac {1}{c}}{\frac {dc}{dx}}$……(2),

方程（2）表明，沿着流线方向，气体密度变化和速度变化是成正比的，系数为$M^{2}$。由此可得，亚音速状态下，密度变化小于速度变化；相反，超音速状态下，密度变化大于速度变化。

然后根据连续性假设，

$\rho cA={\mathsf {const}}$,

$\ln \rho +\ln c+\ln A=\ln({\mathsf {const}})$,

${\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {dc}{c}}+{\frac {dA}{A}}=0$.

沿流线求导，有

${\frac {1}{c}}{\frac {dc}{dx}}={\frac {1}{M^{2}-1}}{\frac {1}{A}}{\frac {dA}{dx}}$……(3).

如果把截面积A(x)当作已知，流速c(x)，马赫数M(x)当作未知，由方程（3）就可对流动状况进行讨论。如果相对流体进行加速，则必须dc/dx > 0，由(3)

• 可得亚音速流动(M < 1),从而dA/dx < 0，管路变窄。对超音速流动(M > 1), dA/dx > 0，管路变宽。
• 对于音速流动，管路截面积不变。