拿破仑问题

一個圓規作圖問題,做出四點,使得該四點能平分已知圓心的圓

拿破仑问题(Napoleon's problem)是著名的圆规作图问题,原题如下:

给定一和其圆心,只用圆规将此圆四等分。(此圆指的是圆周而不是圆面积

此题目是由意大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼拿破仑·波拿巴提出的问题,但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化,变成只给定一圆,只用圆规将此圆四等分,在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。

1672年,乔治·莫尔英语Georg Mohr证明只要使用圆规就可以解决所有的尺规作图[1],但此证明直到1928年才被发现。[2]

找出圆心

 
 →深蓝、 →红、 →绿、 →紫、 →蓝

作法

  1. 在已知的圆 上找任意一点 A,以任意半径  (必须和圆 有交点,长度最好差不多有半圆那么长,方便第三步作图),交圆 B'B 两点。
  2. 分别以B'B为圆心,    为半径,画两条弧  ,两弧线相交于 A 点和 C 点。
  3. 再以 C 点为圆心、  为半径,画弧   ,交弧 D'D两点。
  4. D'D为圆心,    为半径,画两条弧   ,两弧线相交于A点和O点。(O点即圆 的圆心)

证明

设圆 的半径为 ,圆 的半径为 ,我们知道:

 
 

因为 ,所以 

由于 ,可以得出 

根据对称性, 通过圆心,又 ,所以 是圆 的圆心。

四等分圆

 

作法

由前面我们已经知道圆心的位置

  1. 在已知的圆上找任意一点  ,以 为半径画弧  ,交圆于    两点。
  2.   为圆心, 为半径画弧  ,交圆于   点(和   点)。
  3. (继续分别以    为圆心,   为半径画弧,即可将圆六等分,)     为四个六等分点(如图)。
  4.   为圆心, 为半径画弧  ;以   为圆心, 为半径画弧  ,两弧交于   点。
  5.   为圆心,取 的长度   为半径画弧  ,交圆于    两点。
  6.      四点将圆四等分。

证明

设圆的半径为 ,容易得出       的长度都是 ,可以得出 ,根据毕氏定理可以得出 ,因此    四点将圆四等分。

参见

注解

  1. ^ Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
  2. ^ Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

参考资料