数值微分

数值微分是数值方法中的名词，是用函数的值及其他已知信息来估计一函数导数的算法。

有限差分法

最简单的方式是使用有限差分近似。

简单的二点估计法是计算经过(x,f(x))及邻近点(x+h,f(x+h))二点形成割线的斜率^[1]选择一个小的数值h，表示x的小变化，可以是正值或是负值。其斜率为

{f(x+h)-f(x) \over h}.

此表示法是牛顿的差商，也称为一阶均差。

割线斜率和切线斜率有些差异，差异大约和h成正比。若h近似于0，则割线斜率近似于切线斜率。因此，函数f真正在x处真正的斜率是割线趋近切线时的差商：

f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}.

若直接将h用0取代会得到除以零的结果，因此计算导数需要一些较不直觉的的方式。

同様的，切线斜率也可以用(x - h)和x二点的割线斜率近似。

另外一种二点估计法是用经过(x-h,f(x-h))和(x+h,f(x+h))二点的割线，其斜率为

{f(x+h)-f(x-h) \over 2h}.

上述公式称为对称差分，其一次项误差相消，因此割线斜率和切线斜率的差和 $h^{2}$ 成正比。对于很小的h而言这个值比单边近似还要准确。特别的是公式虽计算x点的斜率，但不会用到函数在x点的数值。

估计误差为：

R={{-f^{(3)}(c)} \over {6}}h^{2}

,

其中 $c$ 为在 $x-h$ 和 $x+h$ 之间的某一点。此误差没有包括因为有限准确度而产生的舍入误差。

很多工程计算机都是用对称差分来计算导数，像德州仪器（TI）的TI-82、TI-83、TI-84及TI-85，其h=0.001^[2]^[3]。

虽然在实务十分常用，但上述二种方式的数值微分常被研究者批评，尤其是被一些鼓励使用自动微分的研究者批评^[4]，因为上述的数值微分其精确度不高，若计算器精准度是六位数，用对称差分计算导数只有三位数的精确度，而若是找到一计算斜率的函数，仍可以有几乎六位数的精确度。例如假设f(x) = x²，用2x计算斜率有几乎完整的准确度，而用差分近似就会有上述的问题。

利用浮点数的实际考量

在浮点数运算下，不同的

h

造成的舍入误差及公式误差，只有在特定值下误差才是最小值

若计算时使用浮点数，就需要考虑h要取到多小。若选的太小，相减之后会有大的舍入误差，事实上整个有限差分的公式都是病态的^[5]，若h够小，导数不为零的情形下，在相消后会得到数值微分为零的结果^[6]，若h太大，计算割线斜率的结果就会更加准确，但用割线斜率估算切线斜率的误差就更大了。

一种可以产生够小的h，但又不会产生舍入误差的方式是 ${\sqrt {\varepsilon }}x$ （不过x不能为0），其中最小浮点数（英语：machine epsilon）ε大约是2.2×10⁻¹⁶数量级。 ^[7]。以下是一个一个可以平衡舍入误差和公式误差，有最佳精确度的h为

$h=2{\sqrt {\varepsilon |{f(x) \over f''(x)}|}}$ ^[8] （不过f"(x) = 0时不成立），而且需要有关函数的信息。

上述的最小浮点数是针对双精度（64-bit）变量，单精度变量在这类计算几乎不太实用。其计算结果在二进制中不太可能是“整数”。虽然x是可以用浮点数表示的数字，但x + h几乎不会也是可用浮点数表示（而且和x不同）的数字，因此x + h需调整为机器可读的数字，因此会出现(x + h) - x不等于h的情形，因此用二个函数计算值计算微分时，二个位置的差不会是h。几乎所有的十进制分数在二进制下都会是循环小数（都像1/3在十进制中的情形一様），例如h = 0.1在二进制下会是循环小数，是 0.000110011001100...。因此在浮点数下一个可能计算的方式是：

 h:=sqrt(eps)*x;
 xph:=x + h;
 dx:=xph - x;
 slope:=(F(xph) - F(x))/dx;

先计算(x + h) - x的值，再用这个值作为微分算式的分母，不过若是用电脑计算，编译器优化的机能可能会认为dx和h相同，因此让上述的方式失效。若是用C或其他类似的编程语言，可以让xph宣告成Volatile变量，以避免此一问题。

高阶方法

也有用更高阶估计导数的方法，或是估计高阶导数的方法。

以下就是一阶导数的五点法（一维下的五点模版（英语：five-point stencil））^[9]

f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c)

其中 $c\in [x-2h,x+2h]$ .

微分求积

微分求积（英语：Differential quadrature）（Differential quadrature）是用函数在特定位置数值的加权和来近似导数^[10]^[11]，其名称类似数值积分中用的求积（quadrature），也就是像梯形法或是辛普森法中用的加权和，有许多方式可找出加权的系数，在求解偏微分方程时会用到微分求积。

复变的方法

传统用有限差分近似数值微分的方式是病态的，不过若 $f$ 是全纯函数，在实轴上的值都是实数，可以用复平面中靠近 $x$ 的位置来求值，此方式为数值稳定的方式，例如^[6]一阶导数可以用以下的复数导数公式计算^[12]：

f'(x)\approx \Im (f(x+ih))/h

.

上述公式只在计一阶导数时有效，若要拓展到任意阶导数，需要用到多重复数，结果也会是多重复数的导数。^[13]

而任意阶的导数可以用柯西积分公式计算：

f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} z

,

其中积分会用数值积分计算。

Lyness和Moler在1967年提出用复变量来计算数值微分^[14]。Abate和Dubner提出一种用复数拉普拉斯变换的数值反演为基础的算法^[15]。

参考资料

^ Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis, (7th Ed), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9
^ Katherine Klippert Merseth. Windows on Teaching Math: Cases of Middle and Secondary Classrooms. Teachers College Press. 2003: 34. ISBN 978-0-8077-4279-2.
^ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. 2014: 299. ISBN 978-1-61865-686-5.
^ Andreas Griewank; Andrea Walther. Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition. SIAM. 2008: 2– [2016-07-03]. ISBN 978-0-89871-659-7. （原始内容存档于2016-07-29）.
^ Numerical Differentiation of Analytic Functions, B Fornberg - ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 1981
^ ^6.0 ^6.1 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Functions, W Squire, G Trapp - SIAM REVIEW, 1998
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^ Abramowitz & Stegun, Table 25.2
^ Differential Quadrature and Its Application in Engineering: Engineering Applications, Chang Shu, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-209-9
^ Advanced Differential Quadrature Methods, Yingyan Zhang, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7
^ Martins, JRRA; Sturdza, P; Alonso, JJ. The Complex-Step Derivative Approximation. ACM Transactions on Mathematical Software. 2003, 29 (3): 245–262. doi:10.1145/838250.838251. CiteSeerX: 10.1.1.141.8002 .
^ 存档副本 (PDF). [2012-11-24]. （原始内容 (PDF)存档于2014-01-09）.
^ Lyness, J. N.; Moler, C. B. Numerical differentiation of analytic functions. SIAM J.Numer. Anal. 1967, 4: 202–210. doi:10.1137/0704019.
^ Abate, J; Dubner, H. A New Method for Generating Power Series Expansions of Functions. SIAM J. Numer. Anal. March 1968, 5 (1): 102–112. doi:10.1137/0705008.

外部链接

http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
https://web.archive.org/web/20130820223117/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalDiffMod.html
Numerical Differentiation Resources: Textbook notes, PPT, Worksheets, Audiovisual YouTube Lectures at Numerical Methods for STEM Undergraduate
ftp://math.nist.gov/pub/repository/diff/src/DIFF^{[失效链接]} Fortran code for the numerical differentiation of a function using Neville's process to extrapolate from a sequence of simple polynomial approximations.
NAG Library numerical differentiation routines （页面存档备份，存于互联网档案馆）
http://graphulator.com （页面存档备份，存于互联网档案馆） Online numerical graphing calculator with calculus function. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis, (7th Ed), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9

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[RubySellers2014-3] Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. 2014: 299. ISBN 978-1-61865-686-5.

[GriewankWalther2008-4] Andreas Griewank; Andrea Walther. Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition. SIAM. 2008: 2– [2016-07-03]. ISBN 978-0-89871-659-7. （原始内容存档于2016-07-29）.

[Fornberg1-5] Numerical Differentiation of Analytic Functions, B Fornberg - ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 1981

[SquireTrapp1-6] 6.0 ^6.1 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Functions, W Squire, G Trapp - SIAM REVIEW, 1998

[7] Following Numerical Recipes in C, Chapter 5.7 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[8] . 263 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[9] Abramowitz & Stegun, Table 25.2

[10] Differential Quadrature and Its Application in Engineering: Engineering Applications, Chang Shu, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-209-9

[11] Advanced Differential Quadrature Methods, Yingyan Zhang, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7

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[13] 存档副本 (PDF). [2012-11-24]. （原始内容 (PDF)存档于2014-01-09）.

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