根系 (数学)

在数学中，根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要；而根系分类的主要工具──邓肯图，也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

定义

设 $V$ 为有限维实向量空间，并赋予标准的内积 $(,)$。$V$ 中的根系是有限个向量（称为根）构成的集合 $\Phi$，满足下述条件：

<α, β> 的整性条件使得 β 必然落在所示各条垂直线上。再配合 <β, α> 的整性条件，在每条线上，其间交角只有两种可能。

1. $\Phi$ 的元素张出 $V$。
2. 对任一 $\alpha \in \Phi$，其属于 $\Phi$ 的标量倍数只有 $\pm \alpha$。
3. 对任意 $\alpha \in \Phi$，集合 $\Phi$ 在对 $\alpha$ 的反射之下不变。在此的反射是指

   $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha \in \Phi .$

4. （整性）若 $\alpha ,\beta \in \Phi$，则 $\beta$ 在 $\alpha$ 方向的投影乘以2是 $\alpha$ 的整数倍，即：

   $\langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,$

根据性质三，整性等价于：对任意 $\alpha ,\beta \in \Phi$，$\sigma _{\alpha }(\beta )$ 与 $\beta$ 仅差 $\alpha$ 的整数倍。此外，注意到性质四定义的尖积

$\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$

并非一个内积，它未必对称，而且只对第一个参数是线性的。

根系 $\Phi$ 的秩定义为 $V$ 的维度。

给定两个根系 $(V,\Phi ),(W,\Psi )$，可考虑其正交直和 $V\oplus W$，则 $\Phi \sqcup \Psi$ 自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合（当然，假设 $V,W\neq \{0\}$），则称之为不可约的。

对两个根系 $(E_{1},\Phi _{1}),(E_{2},\Phi _{2})$，若存在其间的线性同构，使得 $\Phi _{1}$ 映至 $\Phi _{2}$，则称它们为同构的根系。

对于根系 $(V,\Phi )$，对根的反射生成一个群，称为该根系的外尔群。可证明此群在 $\Phi$ 上忠实地作用，因此必为有限群。

秩一与秩二的例子

秩为1的例子

在同构的意义下，秩一的根系仅有一种，由两个非零向量 $\{\alpha ,-\alpha \}$ 组成。此根系记作 $A_{1}$。

秩为2的例子

秩二的根系有四种可能，对应于$\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha$，其中$n=0,1,2,3$的情况。注意根系并不由它生成的格所决定：$A_{1}\times A_{1}$ 和$B_{2}$均生成正方形格，而 $A_{2}$和$G_{2}$ 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 图解如下：

秩二之根系

根系 A1×A1	根系 A2
根系 B2	根系 G2

当 $\Phi$ 是 $V$ 中的根系，而 $W$ 是 $\Psi =\Phi \cap W$ 在 $W$ 中生成的子空间，则 $\Psi$ 是 $W$ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系，例如：任意两根的交角仅可能是 $0,30,45,60,90,120,135,150$ 或 $180$ 度。

正根与单根

对于根系 $\Phi$，可以取定满足下述条件的正根子集 $\Phi ^{+}$：

• 对每个根 $\alpha \in \Phi$，$\alpha ,-\alpha$ 中恰有一者属于 $\Phi ^{+}$。
• 对任意 $\alpha ,\beta \in \Phi ^{+}$，若 $\alpha +\beta \in \Phi$，则 $\alpha +\beta \in \Phi ^{+}$。

正根的取法并不唯一。取定一组正根后，$-\Phi ^{+}$ 的元素被称为负根。

正根的选取等价于单根的选取。单根集是 $\Phi$ 中满足下述条件的子集 $\Delta$：

任意 $\Phi$ 中的元素皆可唯一地表成 $\Delta$ 中元素的整系数线性组合，而且其系数或者全大于等于零，或者全小于等于零。

选定一组单根后，可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

以邓肯图分类根系

不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题，由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下：

给定一个不可约根系，选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 $\alpha ,\beta$ 若不垂直，则有 $\langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle$ 个边相连：若只有一个边，则不取定向，否则则取自长度 $(\alpha ,\alpha )$ 长者（称为长根）指向短者（称为短根）的有向边。

一个根系可以取多种不同的单根。然而，由于外尔群在这些选取上的作用是传递的，邓肯图的构造与单根的选取无关，它是根系内在的不变量。反之，给定具有相同邓肯图的两个不可约根系，可以按图配对单根及其间的内积，从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一，但至多差一个正常数倍，因而得到的根系是同构的 。

借此，可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系，则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的；配上这个条件后，即可解决根系的分类。

邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数，亦即相应根系的秩。

连通邓肯图一览

不可约根系的性质

$\Phi$	$|\Phi |$	$|\Phi ^{<}|$	I	$|W|$
An (n≥1)	n(n+1)		n+1	(n+1)!
Bn (n≥2)	2n2	2n	2	2n n!
Cn (n≥3)	2n2	2n(n−1)	2	2n n!
Dn (n≥4)	2n(n−1)		4	2n−1 n!
E6	72		3	51840
E7	126		2	2903040
E8	240		1	696729600
F4	48	24	1	1152
G2	12	6	1	12

不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系：$A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}$，其下标分别取遍 $n\geq 1,2,3,4$ 的正整数，称为典型根系；剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中， $|\Phi ^{<}|$ 表示短根的个数（若诸根同长，则皆视为长根），$I$ 表示其嘉当矩阵的行列式，而 $|W|$ 表示外尔群之阶。

不可约根系的构造方法及描述

A_n

取 $V$ 为 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 中满足 $\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=0$ 的点 $(x_{1},\ldots ,x_{n+1})$ 所成之子空间。令 $\Phi$ 为 $V$ 中长度为 ${\sqrt {2}}$ 的格子点。取 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 的标准基 $e_{1},\ldots ,e_{n+1}$，则根具有 $e_{i}-e_{j}\;(i\neq j)$ 的形式，共有 $n(n+1)$ 个根。通常取单根为 $\alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}$。

对垂直于 $\alpha _{i}$ 的超平面的镜射在 $\Phi$ 上的作用是交换第 $i,i+1$ 个座标。因此 $A_{n}$ 的外尔群不外就是对称群 $S_{n+1}$。

$A_{n}$ 是李代数 ${\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )$ 的根系。

B_n

B₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	1

取 $V=\mathbb {R} ^{n}$，并令 $\Phi$ 为 $V$ 中长度为 $1,{\sqrt {2}}$ 的格子点。共有 $2n^{2}$ 个根。通常取单根为 $\alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)$ 及 $\alpha _{n}:=e_{n}$（短根）。

对短根 $\alpha _{n}$ 的反射即 $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,-x_{n})$。

$B_{1}$ 跟 $A_{1}$ 仅差一个缩放，因此通常仅考虑 $n\geq 2$ 的情形。$B_{n}$ 是李代数 ${\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )$ 的根系。

C_n

C₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	2

取 $V=\mathbb {R} ^{n}$，$\Phi$ 为 $V$ 中所有长度 ${\sqrt {2}}$ 的格子点与形如 $2\lambda$的点，其中 $\lambda$ 是长度为一的格子点。共有 $2n^{2}$ 个根。通常取单根为 $\alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)$及 $\alpha _{n}:=2e_{n}$（长根）。

$C_{2}$ 与 $B_{2}$ 仅差一个缩放加上旋转 45 度，因此通常仅考虑 $n\geq 3$ 的情形。$C_{n}$ 是李代数 ${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )$ 的根系。

D_n

D₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	1	1

取 $V:=\mathbb {R} ^{n}$，$\Phi$ 为 $V$ 中长度 ${\sqrt {2}}$ 的格子点。共有 $2n(n-1)$ 个根。通常取单根为 $\alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1},\;(1\leq i<n)$ 及 $\alpha _{n}=e_{n}+e_{n-1}$。

$D_{3}$ 同构于 $A_{3}$，故通常仅考虑 $n\geq 4$ 的情形。$D_{n}$ 是李代数 ${\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )$ 的根系。

E₈, E₇, E₆

$E_{8}$ 是较为特殊的根系。首先定义 $\mathbb {R} ^{8}$ 中满足下述条件的点集 $\Gamma _{8}$：

• 各座标均为整数，或均为半整数（不容相混）。
• 八个座标的和为偶数。

定义 $E_{8}$ 为 $\Gamma _{8}$ 中长度为 ${\sqrt {2}}$ 的向量，即：

$\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} \right\}$

定义 $E_{7}$ 为 $E_{8}$ 与超平面 $\{x:(x,\alpha )=0\}$ 之交， 其中 $\alpha \in E_{8}$ 是任取的根。同样步骤施于 $E_{7}$，得到更小的根系 $E_{6}$。根系 $E_{6},E_{7},E_{8}$ 分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤，则会得到典型根系 $D_{5},A_{4}$。

E₈：偶坐标

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
½	½	½	½	½	½	½	½

另一种等价的描述是取 $\Gamma '_{8}$ 为：

• 各坐标均为整数，而且其和为偶数；或
• 各坐标均为半整数，而且其和为奇数。

$\Gamma _{8}$ 与 $\Gamma '_{8}$ 同构。将任意偶数个座标乘以负一，便可在两者间转换。$\Gamma _{8}$ 称为 $E_{8}$ 的偶坐标系，$\Gamma '_{8}$ 称为奇坐标系。

在偶坐标下，通常取单根为

$\alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 6)$

$\alpha _{7}:=e_{7}+e_{6}$

$\alpha _{8}=\beta _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{8}e_{i}}{2}}$

E₈：奇坐标

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	0	1	-1
-½	-½	-½	-½	-½	½	½	½

在奇坐标下，通常取单根为

$\alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 7)$

$\alpha _{8}:=\beta _{5}$，其中

$\beta _{j}:={\frac {-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}}{2}}$

（在上述定义中，若改取 $\beta _{3}$，将得到同构的结果。若改取 $\beta _{1},\beta _{7},\beta _{2},\beta _{6}$，将得到 $A_{8}$ 或 $D_{8}$。至于 $\beta _{4}$，其坐标和为零，而 $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{7}$ 亦然，所以张出的向量空间维度不合所求。

删去 $\alpha _{1}$ 可得到 $E_{7}$ 的一组单根；再删去 $\alpha _{2}$，可得 $E_{6}$ 的单根。

由于对 $\alpha _{1}$ 垂直等价于前两个坐标相等，而对 $\alpha _{1},\alpha _{2}$ 垂直等价于前三个座标相等，不难导出 $E_{7},E_{6}$ 的明确定义：

E₇ = (α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷: ∑α_i² + α₁² = 2，∑α_i + α₁ ∈ 2Z),

E₆ = (α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶: ∑α_i² + 2α₁² = 2，∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z)

F₄

F₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

对于 $F_{4}$，取 $V=\mathbb {R} ^{4}$，并令 $\Phi$ 为满足下述条件的向量：

• $|\alpha |=1,{\sqrt {2}}$
• $2\alpha$ 各坐标皆为奇数或皆为偶数。

此根系有 $48$ 个根。通常取单根为 $B_{3}$ 的单根再加上 $\alpha _{4}=-\left(\sum _{i=1}^{4}e_{i}\right)/2$。

G₂

G₂

1	-1	0
-1	2	-1

$G_{2}$ 有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

• $\alpha _{1}$
• $\beta :=\alpha _{2}-\alpha _{1}$

在此沿用了之前的符号： $\alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)$。

根系与李群、李代数

不可约根系的分类可用于研究下述对象：

• 单复李代数
• 单复李群
• 模掉中心后为单李群的单连通复李群
• 紧单李群

参考文献

来源

• Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
• Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
• Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
• Hall, Brian C., Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 

参见

• ADE分类
• 外尔群
• 考克斯特群
• 考克斯特矩阵
• 根资料
• 考克斯特-邓肯图