格林公式

提示：此条目页的主题不是格林定律。

在物理学与数学中，格林定理给出了沿封闭曲线 C 的线积分与以 C 为边界的平面区域 D 上的双重积分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。

定理

设闭区域$D$由分段光滑的简单曲线 $L$围成，函数 $P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导数，则有

$\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\oint _{L^{+}}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)$

其中$L^{+}$是$D$的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线$L$的曲线积分与$L$所包围的区域$D$上的二重积分之间的关系。另见格林恒等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

D 为一个简单区域时的证明

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C₂和C₄是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C₁和C₃是水平的直线。

如果我们可以证明

$\int _{C}L\,\mathrm {d} x=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(1)}$

以及

$\int _{C}M\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(2)}$

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

其中g₁和g₂是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L(x,y)}{\partial y}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(3)}$

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C₁、C₂、C₃和C₄的并集。

对于C₁，使用参数方程：。那么：

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x$

对于C₃，使用参数方程：$x=x,\,y=g_{1}(x),\,a\leq x\leq b$。那么：

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x$

沿着C₃的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C₂和C₄上，x是常数，因此：

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=0$

所以：

$\int _{C}L\,\mathrm {d} x$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(4)}$

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

应用

计算区域面积

使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于$A=\iint _{D}dA$，所以只要我们选取适当的L与M使得${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1$，就可以通过$A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)$来计算面积。

一种可能的取值是$A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\oint _{C}x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x$。

参见

• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 格林函数