格林恒等式

格林恒等式Green's identities)乃是向量分析的一组共三条恒等式,以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。

格林第一恒等式

设定向量场 ;其中,在 的某区域 内, 是二次连续可微标量函数, 是一次连续可微标量函数,则从散度定理

 

可以推导出格林第一恒等式[1]

 

其中, 是区域 的边界, 是取于边界面 法向导数,即 

格林第二恒等式

假若在区域 内,  都是二次连续可微,则可交换  ,从 的格林第一恒等式得到 的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减,则可得到格林第二恒等式:

 

格林第三恒等式

假设函数 拉普拉斯方程式基本解fundamental solution):

 

其中, 狄拉克δ函数

例如,在R3,基本解的形式为

 

函数 称为格林函数。对于变数  的交换,格林函数具有对称性,即 

设定 ,在区域 内, 是二次连续可微。假若 在积分区域 内,则应用狄拉克δ函数的定义,

 

其中,  分别积分  

这是格林第三恒等式。假若 调和函数,即拉普拉斯方程式的解:

 

则这恒等式简化为

 

参阅

参考文献

  1. ^ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.