正六百胞体
几何学中，正六百胞体（hexacosichoron）是四维凸正多胞体，施莱夫利符号是{3,3,5}，有时候会视为正二十面体的四维类比。
| 正六百胞体 （600胞体） | |
|---|---|
 | |
| 类型 | 正多胞体 |
| 家族 | 类二十面体形 |
| 对偶多胞形 | 正一百二十胞体 |
| 识别 | |
| 鲍尔斯缩写 | ex |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 |     |
| 施莱夫利符号 | {3,3,5} |
| 性质 | |
| 胞 | 600 (3.3.3)  |
| 面 | 1200 {3}  |
| 边 | 720 |
| 顶点 | 120 |
| 组成与布局 | |
| 顶点图 |  (3.3.3.3.3) |
| 对称性 | |
| 对称群 | H4, [3,3,5] |
| 特性 | |
| 凸多胞形, 点可递, 边可递, 面可递 | |
几何性质
正六百胞体的对偶多胞体是正一百二十胞体。
正六百胞体的顶点图是正二十面体。
边长为a的正六百胞体超体积为 ，表体积为50√2a3。
以原点为中心，边长为 1/φ 的正六百胞体（其中φ = (1+√5)/2是黄金比例），顶点坐标如下：16个顶点形式如下
- (±½,±½,±½,±½)，
8个顶点从下列坐标不同排列得出
- (0,0,0,±1)，
剩下96个顶点是下列坐标的偶置换
- ½(±1,±φ,±1/φ,0)。
如果一个正六百胞体的棱长为1，则其外接超球半径为 即黄金分割比；其外中交超球(经过正六百胞体每条棱的中点)半径为 ；其内中交超球（经过正六百胞体每个面的中心）半径为 ；其内切超球半径为 。
注意到首16个顶点构成超正方体，次8个构成正十六胞体。这24个顶点一起构成正二十四胞体，事实上，如果移除这24个顶点，就会得到另一个有意思的半正多胞体扭棱正二十四胞体（Snub Icositetrachoron）。
对称群构造
如果把坐标看作四元数，正六百胞体的120个顶点以四元数乘法组成群。这个群通常称为双二十面体群，因为它是二十面体群I的双重复盖。这个双十二面体群也可被看作是正六百胞体的旋转（无反射）对称群，因为单位四元数的乘法等同于点的旋转，也因此双十二面体群是H4群的一个子群。双二十面体群同构于特殊线性群SL(2,5)。
可视化
正六百胞体的胞众多，并且这些正四面体胞基本上没有什么规律可循，为正六百胞体的可视化带来了许多困难，但作为正一百二十胞体的对偶，许多正一百二十胞体的性质也表现在正六百胞体上。
大圆结构
正一百二十胞体的10个会首尾相连，构成“大圆”，这些胞与正六百胞体的顶点对偶，它们也会互相连接形成一个正十边形，这正十边形的每一条边周围都有5个正四面体共这条边，这种结构看上去就像有棱有角的飞盘。正十边形相邻的两条棱周围的两簇正四面体中间会有空隙，我们可以在填入10个正四面体使其构成正二十面体，这样你就会得到一个涉及150个胞、10条棱、100个裸露的正三角形面的环形结构，我们还可以在向这些面上填上正四面体，会得到一个涉及250个胞的有50个突出的顶点和100条凹陷的棱的大圆，它与另一条与之正交的250胞环在顶点处咬合，剩余的棱的空隙是剩余的100个胞。现在，如果我们去掉这两条大圆最初的10个顶点，我们就会得到四维唯一的非Wythoff凸半正多胞体——重反棱柱，原来的大圆处留下了各10个正五反棱柱，并剩下了300个正四面体胞。
参考
- 600-cell （页面存档备份，存于互联网档案馆） 逐层剖析了正六百胞体的表分层结构
- Regular Convex Four-Dimensional Polytopes[永久失效链接]提供了正六百胞体的几何数据
| 四维正多胞体 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 正五胞体 | 超立方体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体 |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |