结式

结式是数学中一个常用的不变量。考虑域 $F$ 上两个多项式 $P,Q$，设其首项系数分别为 $a,b$，则其结式定义为

$\mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,$

其中 ${\bar {F}}$ 为 $F$ 的给定代数闭包。由此定义的结式是 $F$ 的元素，而与代数闭包的选取无关。

计算方式

• 结式亦可理解为西尔维斯特矩阵的行列式。
• 为简单起见，假设 $P,Q$ 首项系数为一；若 $Q$ 是可分多项式（换言之：无重根），则定义可改写为

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,$

此式仅依赖于 $Q$ 除以 $P$ 的余式。

• 承上，可透过辗转相除法求得结式。

性质

• $\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
• $\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
• 若 $P_{1}=P+R*Q$且$\deg P_{1}=\deg P$，那么$\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)$。在论及计算方式时已利用此性质。
• 若 $X,Y,P,Q$ 同次，$X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$，则有

$\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)$

• $\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$，其中 $P_{-}(z):=P(-z)$。

应用

• 一多项式 $P$ 与其导数 $P'$的结式可由判别式 $D(P)$ 表示：设 $P$ 的首项系数为 $a$，则

$D(P)=(-1)^{\frac {\deg P(\deg P-1)}{2}}a^{-1}\mathrm {res} (P,P')$。

• 在代数几何中，可用结式计算两条平面代数曲线之交。
• 在域论中，结式可用来计算范数。

外部链接

• Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （页面存档备份，存于互联网档案馆）