Artin群

数学上，阿廷群（或Artin group、称广义辫群），是指有如下展示的群：

{\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m_{i,j}}=\langle x_{j},x_{i}\rangle ^{m_{j,i}},i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j{\Big \rangle }

其中

m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}

.

对 $m<\infty$ ， $\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}$ 表示长度为 $m$ 的 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 的交错积，以 $x_{i}$ 开首。例如：

\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}

，

\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}

。

若 $m=\infty$ ，按惯例这表示 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 间没有关系。

在整数 $m_{i,j}$ 中加入 $m_{i,i}=1$ ，可以组成一个对称矩阵，称为这个群的考克斯特矩阵（Coxeter matrix）。在Artin群中加入所有形为 ${x_{i}}^{2}=1$ 的关系，得到的商群是考克斯特群。这个考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩阵。从Artin群到对应的考克斯特群的群同态的核，称为纯阿廷群（pure Artin group）。

Artin群的类

辫群是Artin群的一种，其考克斯特矩阵为 $m_{i,i+1}=3$ ，及当 $|i-j|>1$ 时 $m_{i,j}=2$ 。

用Artin群的考克斯特矩阵，可以定义出数类重要的Artin群：

有限型Artin群

若M是有限型考克斯特矩阵，使对应的考克斯特群W = A(M)是有限群，那么Artin群A = A(M)称为有限型Artin群（Artin group of finite type）。其“不可约型”标记为A_n , B_n = C_n , D_n , I₂(n) , F₄ , E₆ , E₇ , E₈ , H₃ , H₄ 。一个有限型纯Artin群，可以表现为Cⁿ中一个有限超平面配置的补集的基本群。皮埃尔·德利涅和Brieskorn-Saito用了这个几何描述，算出A的中心、上同调，及解出字问题和共轭问题。

直角Artin群

若矩阵M中除对角线外的元素都是2或∞，则对应的Artin群称为直角Artin群（right-angled Artin group）。这类Artin群常用以下的方式标记：任何一个有n个顶点的图 Γ，顶点标记为1, 2, …, n，都可定义一个矩阵M，其中若i和j在Γ中相连，则m_ij = 2，否则m_ij = ∞。与矩阵M对应的直角Artin群A(Γ)有n个生成元x₁, x₂, …, x_n及关系

x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\quad

若i和j在

\Gamma

中相连。

直角Artin群包括了有限秩的自由群，对应无边线的图，及有限生成的自由阿贝尔群，对应完全图。事实上每个秩为r的直角Artin群都是一个秩为r-1的直角Artin群的HNN扩张，两个极端例子是自由积和直积。这个构造法有一个推广称为群的图积（graph product of groups）。直角Artin群是群的图积的特例，其中每个顶点群都是秩1自由群（即无限循环群）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建构了一个非正曲立方复形（nonpositively curved cubical complex）K，其基本群是一个给定的直角Artin群A(Γ)。他们在Artin群的几何描述上用莫尔斯理论来论证，给出具有性质(FP₂)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群

若一个Artin群或一个考克斯特群的对应矩阵中，对所有i ≠ j都有m_{i, j} ≥ 3，称这个群是大型（large type）的；若对所有i ≠ j都有m_{i, j} ≥ 4，则称这个群是超大型（extra-large type）的。

凯尼斯·阿佩尔和P.E. Schupp探讨Artin群的性质，证明了四条定理。这些定理之前已知对考克斯特群成立，而他们证明对Artin群也成立。他们发现可以使用小消去理论的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，并可以把技巧改进来用在那些大型的群中。

他们证明的定理为：

设G为超大型Artin或考克斯特群。若J ⊆ I，则G_J有一个展示由考克斯特矩阵M_J定义，且G_J在G中的广义字问题可解。若J, K ⊆ I则G_J ∩ G_K = G_{(J ∩ K)}.
超大型Artin群是无扭（即无有限目的元素）的。
设G为超大型Artin群，则集合{a_i² : i ∈ I}自由生成G的一个自由子群。
超大型Artin或考克斯特群的共轭问题可解。

参考

Mladen Bestvina, Noel Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
Pierre Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. Artin Groups and Infinite Coxeter Groups. Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220