S变换 (s-transform)是一种时频分析 的工具。
和其他时频分析工具一样，透过S变换，我们可以同时从时域 以及频域 观察一个信号的能量分布。S变换的特别之处在它既保持与傅里叶变换 的直接关系，又可在不同频率有不同的分辨率。此外，S变换与小波变换 （wavelet transform）有密切的关系，或可视为连续小波变换 （continuous wavelet transform）的变形。S变换的清晰度略优于加伯变换 （Gabor transform），而不如韦格纳分布 （Wigner distribution function）、科恩克莱斯分布 、改良式韦格纳分布 （Modified Wigner distribution function）。
一个信号x(t)的S变换为
S
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
|
f
|
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
{\displaystyle S_{x}(t,\,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\,|f|\,e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }
其中窗函数 为高斯窗函数
w
(
t
,
f
)
=
|
f
|
e
−
π
t
2
f
2
{\displaystyle w(t,f)=|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}}}
借着折积定理
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
=
F
−
1
(
X
(
f
)
⋅
H
(
f
)
)
{\displaystyle x(t)\ast h(t)={\mathcal {F}}^{-1}(X(f)\cdot H(f))}
S变换能以频域
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
S
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
)
(
|
f
|
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
)
d
τ
{\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }(x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })(|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}})\,d\tau }
这里可将
S
x
(
t
,
f
)
{\displaystyle S_{x}(t,f)}
x
(
t
)
e
−
j
2
π
f
t
{\displaystyle x(t)e^{-j2\pi ft}}
|
f
|
e
−
π
t
2
f
2
{\displaystyle |f|e^{-\pi t^{2}f^{2}}}
x
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
{\displaystyle x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }}
|
f
|
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
{\displaystyle |f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}}
傅里叶变换 可得
S
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
X
(
f
+
α
)
e
−
π
α
2
/
f
2
e
j
2
π
α
t
d
α
{\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }
对一讯号
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
S
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
w
(
t
−
τ
,
f
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
{\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\,w(t-\tau ,f)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }
其中
w
(
t
,
f
)
{\displaystyle w(t,f)}
窗函数 ，常见之窗函数为高斯函数，即
w
(
t
,
f
)
=
|
f
|
e
−
π
t
2
f
2
{\displaystyle w(t,f)=|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}}}
事实上，S变换之窗函数并不局限于高斯函数，考虑以下一般化型态的S变换(generalized S transform):
S
x
(
t
,
f
,
P
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
w
(
t
−
τ
,
f
,
P
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
{\displaystyle S_{x}(t,f,P)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\,w(t-\tau ,f,P)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }
其中
w
(
t
,
f
,
P
)
{\displaystyle w(t,f,P)}
w
(
t
,
f
,
γ
)
=
|
f
|
e
−
π
t
2
f
2
/
γ
2
{\displaystyle w(t,f,\gamma )=|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}/\gamma ^{2}}}
γ
{\displaystyle \gamma }
通过选取较小的
γ
{\displaystyle \gamma }
改善时频两域分辨率的问题，可选择非对称的窗函数(asymmetric window)，在正方向(forward direction)上有较陡峭之斜率，反方向(backward direction)上有较缓之斜率，借由牺牲终端时间的分辨率(一般而言较不重要)换取初始时间上更好的分辨率。[ 1]
S变换可以沿着时间轴方向积分，将可以得到
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
∫
−
∞
∞
|
f
|
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
d
t
=
|
f
|
∫
−
∞
∞
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
d
t
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}\,dt=|f|\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}\,dt=1}
因此，沿着时间轴t积分，
∫
−
∞
∞
S
x
(
t
,
f
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
[
∫
−
∞
∞
|
f
|
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
d
t
]
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
=
X
(
f
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\left[\int _{-\infty }^{\infty }|f|\,e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}\,dt\right]\,e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau =X(f)}
这表示S频谱是可逆的，同时也提供一个简单的逆变换。
x
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
[
∫
−
∞
∞
S
x
(
t
,
f
)
d
t
]
e
j
2
π
f
τ
d
f
{\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}
=
∫
−
∞
∞
X
(
f
)
e
j
2
π
f
τ
d
f
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }X(f)\,e^{j2\pi f\tau }\,df}
S变换如同其他时频分析变换，皆可以设计波器来达到消除噪声留下讯号的功用，U(t,f) ，对x(t)进行讯号处理
x
f
i
l
t
e
r
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
[
∫
−
∞
∞
S
x
(
t
,
f
)
⋅
U
(
t
,
f
)
d
t
]
e
j
2
π
f
τ
d
f
{\displaystyle x_{filter}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\cdot U(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}
S变换 相较于加伯变换 ，虽在清晰度有较好的改善，但也有其缺点，就是运算复杂度变高，积分的范围会随着
f
{\displaystyle f\,}
频谱 表示式来推导离散时间S变换
S
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
X
(
f
+
α
)
e
−
π
α
2
/
f
2
e
j
2
π
α
t
d
α
{\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }
令
t
=
n
Δ
T
f
=
m
Δ
F
α
=
p
Δ
F
{\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}}
Δ
T
{\displaystyle \Delta _{T}\,}
,
Δ
F
{\displaystyle ,\Delta _{F}\,}
如果要使用FFT的方式来实作，必须另加条件
Δ
T
⋅
Δ
F
=
1
/
N
{\displaystyle \Delta _{T}\cdot \Delta _{F}=1/N}
首先先对
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
X
[
m
Δ
F
]
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
x
[
k
Δ
T
]
e
−
j
2
π
m
k
N
{\displaystyle X[m\Delta _{F}]={\frac {1}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}x[k\Delta _{T}]\,e^{\frac {-j2\pi mk}{N}}}
接着带入频谱表示式中，
S
x
(
n
Δ
T
,
m
Δ
F
)
=
∑
p
=
0
N
−
1
X
[
(
p
+
m
)
Δ
F
]
e
−
π
p
2
m
2
e
j
2
p
n
N
{\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}
当 m=0 时，S变换就定义成
S
x
(
n
Δ
T
,
0
)
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
x
[
k
Δ
F
{\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,0)={\frac {1}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}x[k\Delta _{F}}
Step1 : 计算
X
[
p
Δ
F
]
{\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}
e
−
π
p
2
m
2
{\displaystyle e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}
f
=
m
Δ
F
{\displaystyle f=m\Delta _{F}}
X
[
p
Δ
F
]
{\displaystyle X[p\Delta _{F}]}
X
[
(
p
+
m
)
Δ
F
]
{\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}
B
[
m
,
p
]
=
X
[
(
p
+
m
)
Δ
F
]
⋅
e
−
π
p
2
m
2
{\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}
Step5 : 对B[m,p]取逆离散傅里叶变换 (IDFT)可得到，
S
x
(
n
Δ
T
,
m
Δ
F
)
{\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})}
f
=
m
Δ
F
{\displaystyle f=m\Delta _{F}}
S
x
(
n
Δ
T
,
m
Δ
F
)
{\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})}
S变换与加伯变换(Gabor Transform)很相似，
G
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
{\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\,e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }
S
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
|
f
|
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
{\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\,|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }
唯一的不同就在于S变换的Gaussian Window的宽度会随着
f
{\displaystyle f}
低频
时域分辨率差
频域分辨率佳
高频
频域分辨率差
时域分辨率佳
原因就是
f
{\displaystyle f\,}
f
{\displaystyle f\,}
f
→
0
{\displaystyle f\rightarrow 0}
f
2
{\displaystyle f^{2}\,}
S变换一般式
S
x
(
t
,
f
)
=
|
s
(
f
)
|
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
e
−
π
(
t
−
τ
)
2
s
2
(
f
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
{\displaystyle S_{x}(t,f)=|s(f)|\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\,e^{-\pi (t-\tau )^{2}s^{2}(f)}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }
s
(
f
)
{\displaystyle s(f)}
f
→
0
{\displaystyle f\rightarrow 0}
s
(
f
)
≠
0
{\displaystyle s(f)\neq 0}
S变换是一种运算量高的时频分析工具，尤其在低频部分，Gaussian Window宽度变宽，频域分辨率比加伯变换来的好，所以S变换对于低频讯号分析比较有优势
韦格纳分布是时频分析工具中，具有高清晰度的一个，但最大的缺点是有交叉项（cross-term）的问题。若一个信号是由数个信号成分组合而成，那么使用韦格纳分布来分析时就会受到两两信号成分之间的交叉项干扰，这将会产生一些不必要的噪声。一个信号x的韦格纳分布为
W
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
+
τ
2
)
x
∗
(
t
−
τ
2
)
e
−
j
2
π
τ
f
d
τ
{\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }
交叉项是在积分中两个x项相乘时产生的。S变换的计算原理与韦格纳分布不同，是直接对
x
(
τ
)
{\displaystyle x(\tau )}
加伯变换的定义为
G
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
e
[
−
π
(
t
−
τ
)
2
f
2
]
e
(
−
j
2
π
f
τ
)
d
τ
{\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{\left[-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}\right]}e^{\left(-j2\pi f\tau \right)}d\tau }
我们知道加伯变换是短时距傅里叶变换的一种特殊形式，其中只要把短时距傅里叶变换的窗函数用高斯函数来替代就成了加伯变换；S变换则可视为一种窗函数会随f变化的加伯变换；随着频率的升高，高斯函数在时域上的宽度会越来越窄，使得时域上的分辨率会增加，反之牺牲频域上的分辨率。
加伯变换和S变换原理相同，两者唯一不同的地方就是窗函数的
f
2
{\displaystyle f^{2}}
f
{\displaystyle f}
连续小波变换可以视为将一个信号对小波做相关 （correlation）：
W
(
τ
,
d
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
W
(
t
−
τ
,
d
)
d
t
{\displaystyle W(\tau ,\,d)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\,W(t-\tau ,\,d)\,dt}
而S变换可以视为连续小波变换乘上一个相位项：
S
(
τ
,
f
)
=
e
−
j
2
π
τ
f
W
(
τ
,
d
)
{\displaystyle S(\tau ,\,f)=e^{-j2\pi \tau f}W(\tau ,\,d)}
而其用的母小波为：
w
(
t
,
f
)
=
|
f
|
exp
[
−
π
t
2
f
2
]
exp
[
−
j
2
π
f
t
]
{\displaystyle w(t,\,f)=|f|\,\exp[-\pi t^{2}f^{2}]\exp[-j2\pi ft]}
假设我们想要对一讯号
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
(
t
)
=
c
o
s
(
2
π
t
)
,
t
<
10
,
{\displaystyle x(t)=cos(2\pi t),t<10,}
x
(
t
)
=
c
o
s
(
2
π
t
)
,
10
≤
t
<
20
,
{\displaystyle x(t)=cos(2\pi t),10\leq t<20,}
x
(
t
)
=
c
o
s
(
2
π
t
)
,
20
≤
t
.
{\displaystyle x(t)=cos(2\pi t),20\leq t.}
如果使用一个宽度为1秒的矩形函数来做短时距傅里叶变换会得到
如果使用一个加伯变换会得到时频分析图
如果用S变换会得到时频分析图
由上三图可知，S变换是一个在低频时频域分辨率高，高频时时域分辨率高的时频分析；举例来说，对于100Hz与300Hz和1000Hz与1200Hz这两组声音，哪一组对于人耳会有明显的差异呢? 答案是100Hz和300Hz，低频时的频率差异对于人耳较明显，当频率越高时，人耳就越难分辨出频率的差异；同样的道理，S变换便符合我们的需求，低频时讯号变化慢拥有低的时域分辨率和拥有高的频域分辨率，高频时因为讯号变化很快则拥有高的时域分辨率和低的频域分辨率。
R. G. Stockwell, L. Mansinha, and R. P. Lowe, "Localization of the complex spectrum: the S transform," IEEE Trans. Signal Processing, vol. 44, no. 4, pp. 998–1001, Apr. 1996.
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2010.
Sitanshu Sekhar, Ganapati Panda and Nithin V George, "An Improved S-Transform for Time-Frequency Analysis," "IACC2009", pp. 315-319, March 2009.
^ The S-transform with windows of arbitrary and varying shape, C. Robert Pinnegar, Lalu Mansinha, GEOPHYSICS, VOL.68, NO.1 (JANUARY-FEBRUARY 2003); P.381–385
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\left[\int _{-\infty }^{\infty }|f|\,e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}\,dt\right]\,e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau =X(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e6b352156da8033cca125003140df358d3c297)
![{\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2af5491d487dc8fae81d248ffb805c4846c41b8)
![{\displaystyle x_{filter}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\cdot U(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60fa32f66dcd95e2178f3bef55e8581f62e9320)
![{\displaystyle X[m\Delta _{F}]={\frac {1}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}x[k\Delta _{T}]\,e^{\frac {-j2\pi mk}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498f32de39c38e3e1c43aadcdaad4a555ff67941)
![{\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219978e25a5bbd799c343a7b3be9786d3e9a3494)
![{\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36dc23f645fa9c4ac7fdd712619ce6ddb514620d)
![{\displaystyle X[p\Delta _{F}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc38aa030d987c1378f08c0e4e3f9d32fa285fd)
![{\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff9be139c342d944a9e1caba1b5b46fe2750a17)
![{\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8d284c8a44c574c591f6556f95a08008277a54)
![{\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{\left[-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}\right]}e^{\left(-j2\pi f\tau \right)}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f249ce95c32b3b23438166c47f67b5b15fe0fbf)
![{\displaystyle w(t,\,f)=|f|\,\exp[-\pi t^{2}f^{2}]\exp[-j2\pi ft]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7047d506ef8d68712088aa3a74a3052f36b3a78d)
