交换律
交换律（英语：Commutative property）是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义[1][2]。
一般用法
交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。
在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。[3][4][5]
数学定义
- 一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。
2. 若称 在 下和 “可交换”，即表示：
3. 一二元函数 被称之为“可交换”的，若：
- .
历史
对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。[8][9]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。[10]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。
第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记[11][12]，这一词在笔记中被用来指有著现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。[11]
相关性质
结合律
结合律和交换律密切相关著。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指运算元的顺序不会影响其最终结果的性质。
对称
对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对 这条线对称。举例来说，若设一函数 来表示加法（一可交换运算），所以 ，也因此 会是个如右图所见的对称函数。
例子
日常生活中的可交换运算
- 洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
- 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。
数学中的可交换运算
两个广为人知的可交换二元运算的例子为[6]：
- 例如， ，两个表示式都等于 9 。
- 例如， ，两者都等于 15 。
日常生活中的不可交换运算
- 洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
- 魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。
数学中的不可交换运算
一些不可交换二元运算[13]有：
数学结构与交换律
注记
- ^ Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
- ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）.
- ^ Axler, p.2
- ^ 4.0 4.1 Gallian, p.34
- ^ p. 26,87
- ^ 6.0 6.1 Krowne, p.1
- ^ Weisstein, Commute, p.1
- ^ Lumpkin, p.11
- ^ Gay and Shute, p.?
- ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
- ^ 11.0 11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
- ^ O'Conner and Robertson, Servois
- ^ Yark, p.1
- ^ Gallian p.236
- ^ Gallian p.250
- ^ Gallian p.65
参考资料
书籍
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.
- Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
- Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.
- Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
- Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.
- Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
文章
- https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
- Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
- Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.
线上资源
- Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.
- Definition of commutativity and examples of commutative operations
- 埃里克·韦斯坦因. Commute. MathWorld., Accessed 2007-08-08.
- Explanation of the term commute
- Yark. [2008-02-21]. （原始内容存档于2010-11-26）. Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 2007-08-08
- Examples proving some noncommutative operations
- O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers. MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-18）.
- Article giving the history of the real numbers
- Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms. [2008-11-22]. （原始内容存档于2011-05-01）.
- Page covering the earliest uses of mathematical terms
- O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois. MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-02）.
- Biography of Francois Servois, who first used the term