伴随函子

范畴论中,函子若满足,则称之为一对伴随函子,其中称为右伴随函子,而左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。

定义

 为函子,若存在双函子的同构

 

则称 为一对伴随函子 称为 右伴随函子,而  左伴随函子

上述同构进一步给出两个同构

 
 

分别在同构的左右两侧置  ,遂得到函子间的态射(即自然变换):

 单位
 上单位

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

正合性

 是一对伴随函子,若 为右正合则 为左正合;此命题可由正合函子极限的定义直接导出。

例子

伴随函子在数学中处处可见,以下仅举出几个例子:

  • 自由对象遗忘函子是一对伴随函子,举范畴为例,此时单位态射不外是集合 到它生成的自由群 的包含映射。
  • 对角函子
  •   为右 -模,则  为一对伴随函子。当 可交换时,上式的 可代为  可代为 
  • 的正像与逆像。
  • 群表示理论中的弗罗贝尼乌斯互反定理(详阅诱导表示)。

文献

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部链接